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数学2 指数対数「対数関数」の問題26 解説

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数学2指数対数対数関数問題26

解説

右辺の $4^{\log_2 x}$ を底が $2$ の指数に直して整理する。すると $x$ の式に直せるので，あとは二次方程式として解けばよい。

$\log_2 x$ が定義されるためには

$$ x>0 $$

である。

ここで，$4=2^2$ であるから，右辺は

$$ 4^{\log_2 x}=(2^2)^{\log_2 x}=2^{2\log_2 x}=2^{\log_2 x^2}=x^2 $$

となる。

したがって，もとの方程式

$$ 6x-9=4^{\log_2 x} $$

は

$$ 6x-9=x^2 $$

すなわち

$$ x^2-6x+9=0 $$

となる。

これは

$$ (x-3)^2=0 $$

と因数分解できるので，

$$ x=3 $$

を得る。

この値は $x>0$ を満たすから，適する。

この問題の要点は，$4^{\log_2 x}$ をそのまま眺めるのではなく，$4=2^2$ として底をそろえることである。すると指数法則により $x^2$ に変形でき，一気に通常の二次方程式になる。

対数があるので，最初に定義域 $x>0$ を確認することも重要である。

$$ x=3 $$