解説

方針・初手

底が $2$ と $8$ の対数が混在しているので、まず底をそろえるのが自然である。

特に

$$ 3\log_8 a=\log_2 a $$

が成り立つので、これを用いて式全体を $\log_2$ で統一する。すると対数の和にまとめられ、絶対値を含む方程式に直せる。最後は $x$ の範囲で場合分けして解く。

解法1

与えられた方程式は

$$ \log_2(1+|2-x|)-3\log_8\frac{1}{1+|x|}=2 $$

である。

なお、$1+|2-x|>0,\ 1+|x|>0$ であるから、対数の定義域の条件はすべての実数 $x$ で満たされる。

ここで

$$ \log_8 a=\frac{\log_2 a}{\log_2 8}=\frac{1}{3}\log_2 a $$

より、

$$ 3\log_8\frac{1}{1+|x|}=\log_2\frac{1}{1+|x|} $$

である。したがって元の式は

$$ \log_2(1+|2-x|)-\log_2\frac{1}{1+|x|}=2 $$

となる。

対数の性質より

$$ \log_2\left((1+|2-x|)(1+|x|)\right)=2 $$

であるから、

$$ (1+|2-x|)(1+|x|)=4 $$

を解けばよい。

ここで絶対値を外すため、$x$ の範囲で場合分けする。

**(i)**

$x<0$ のとき

$$ |x|=-x,\quad |2-x|=2-x $$

より、

$$ (1+|2-x|)(1+|x|)=(3-x)(1-x)=4 $$

したがって

$$ 3-4x+x^2=4 $$

すなわち

$$ x^2-4x-1=0 $$

である。これを解くと

$$ x=2\pm\sqrt{5} $$

を得る。このうち $x<0$ を満たすのは

$$ x=2-\sqrt{5} $$

のみである。

**(ii)**

$0\leqq x\leqq 2$ のとき

$$ |x|=x,\quad |2-x|=2-x $$

より、

$$ (1+|2-x|)(1+|x|)=(3-x)(1+x)=4 $$

したがって

$$ 3+2x-x^2=4 $$

すなわち

$$ x^2-2x+1=0 $$

であるから、

$$ (x-1)^2=0 $$

より

$$ x=1 $$

を得る。これは条件を満たす。

**(iii)**

$x>2$ のとき

$$ |x|=x,\quad |2-x|=x-2 $$

より、

$$ (1+|2-x|)(1+|x|)=(x-1)(x+1)=4 $$

したがって

$$ x^2-1=4 $$

すなわち

$$ x^2=5 $$

であるから

$$ x=\pm\sqrt{5} $$

を得る。このうち $x>2$ を満たすのは

$$ x=\sqrt{5} $$

のみである。

以上より、求める実数 $x$ は

$$ x=2-\sqrt{5},\ 1,\ \sqrt{5} $$

である。

解説

この問題の要点は、絶対値の処理ではなく、その前段階で対数の底をそろえて式を簡潔にすることである。

特に

$$ 3\log_8 a=\log_2 a $$

に気づけば、対数方程式を

$$ \log_2\left((1+|2-x|)(1+|x|)\right)=2 $$

とまとめられ、通常の絶対値方程式に帰着できる。

絶対値を含む式を解く際は、$x$ の符号や $2-x$ の符号が変わる点 $x=0,2$ で場合分けするのが基本である。ここを曖昧にすると解の取りこぼしや不要解の混入が起こる。

答え

$$ x=2-\sqrt{5},\ 1,\ \sqrt{5} $$