解説

方針・初手

第2式は、$x,y$ をそのまま扱うよりも、$y$ を対数で置いて1変数化すると見通しがよい。

（1） では、まず第1式 $2^x+3^y=43$ を自然数の範囲で調べ、候補を絞ってから第2式を確認する。

（2） では、第2式から

$$ y=3^t,\quad x=2^{t+1} $$

とおけることに着目し、第1式を $t$ の方程式に直す。すると左辺が単調増加であることから、解の一意性が示せる。

解法1

（1） 自然数 $x,y$ が

$$ 2^x+3^y=43 $$

を満たすとする。

$3^y<43$ より、

$$ 3^y=3,9,27 $$

のいずれかである。

それぞれについて $43-3^y$ を調べると、

$$ 43-3=40,\quad 43-9=34,\quad 43-27=16 $$

である。このうち $2$ の冪になっているのは $16=2^4$ のみであるから、

$$ x=4,\quad y=3 $$

が第1式を満たす自然数解の候補である。

これを第2式に代入すると、

$$ \log_2 4-\log_3 3=2-1=1 $$

となり、確かに成り立つ。

したがって、（1） の答えは

$$ (x,y)=(4,3) $$

である。

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（2） 正の実数解 $(x,y)$ を考える。

$t=\log_3 y$ とおくと、$y>0$ より $t$ は実数であり、

$$ y=3^t $$

と書ける。

第2式

$$ \log_2 x-\log_3 y=1 $$

に $\log_3 y=t$ を代入すると、

$$ \log_2 x-t=1 $$

すなわち

$$ \log_2 x=t+1 $$

であるから、

$$ x=2^{t+1} $$

となる。

よって第1式は

$$ 2^{2^{t+1}}+3^{3^t}=43 $$

と書き直される。

ここで、

$$ f(t)=2^{2^{t+1}}+3^{3^t} $$

とおく。

$t$ が増加すると $2^{t+1}$ は増加し、指数関数 $2^u$ は増加関数であるから、$2^{2^{t+1}}$ は $t$ の増加関数である。同様に、$3^t$ は増加し、指数関数 $3^v$ も増加関数であるから、$3^{3^t}$ も $t$ の増加関数である。

したがって $f(t)$ は実数全体で単調増加である。

一方、$t=1$ のとき

$$ f(1)=2^{2^{2}}+3^{3}=2^4+27=16+27=43 $$

となる。

$f(t)$ は単調増加であるから、方程式

$$ f(t)=43 $$

の実数解は高々1個である。しかも $t=1$ が実際に解であるから、唯一の解は

$$ t=1 $$

である。

よって

$$ y=3^1=3,\qquad x=2^{1+1}=4 $$

となる。

したがって、正の実数解は （1） で求めた

$$ (x,y)=(4,3) $$

以外に存在しない。

解説

この問題の要点は、第2式が $x,y$ を直接結びつけているのではなく、$\log_2 x$ と $\log_3 y$ の差を与えていることである。

（1） では、第1式の定数 $43$ が小さいので、$3^y$ の候補を有限個に絞るのが最も簡潔である。

（2） では、$t=\log_3 y$ とおくことで

$$ y=3^t,\qquad x=2^{t+1} $$

と表せ、2変数の連立方程式が1変数の方程式に落ちる。このとき左辺が単調増加であることを使えば、解の個数が1個に限られることが直ちに分かる。計算で押し切るのではなく、単調性で一意性を示すのが本問の本質である。

答え

**(1)**

$$ (x,y)=(4,3) $$

**(2)**

正の実数解は

$$ (x,y)=(4,3) $$

のみであり、（1） で求めた自然数解以外には存在しない。