解説

方針・初手

与えられた条件は対数の和なので、まず積の対数にまとめるのが自然である。

また、求める式も同様に積にまとめると、条件式と同じ形の $x(6-x)$ が現れる。そこに注目すると処理が一気に簡単になる。

解法1

まず、条件式の定義域より

$$ x>0,\quad 6-x>0 $$

であるから、

$$ 0<x<6 $$

である。

ここで条件

$$ \log_2 x+\log_2(6-x)\geqq 0 $$

をまとめると

$$ \log_2{x(6-x)}\geqq 0 $$

となる。底が $2>1$ であるから、これは

$$ x(6-x)\geqq 1 $$

と同値である。

これを整理すると

$$ -x^2+6x-1\geqq 0 $$

すなわち

$$ x^2-6x+1\leqq 0 $$

であるから、

$$ x\in[3-2\sqrt{2},\,3+2\sqrt{2}] $$

となる。

次に、求める式を

$$ y=\log_2(1+x)+\log_2(7-x) $$

とおくと、

$$ y=\log_2{(1+x)(7-x)} $$

である。

ここで

$$ (1+x)(7-x)=7+6x-x^2=16-(x-3)^2 $$

より、

$$ y=\log_2{16-(x-3)^2} $$

となる。

さきほど求めた

$$ x\in[3-2\sqrt{2},\,3+2\sqrt{2}] $$

から

$$ 0\leqq (x-3)^2\leqq 8 $$

である。したがって

$$ 8\leqq 16-(x-3)^2\leqq 16 $$

となるので、

$$ \log_2 8\leqq y\leqq \log_2 16 $$

すなわち

$$ 3\leqq y\leqq 4 $$

である。

解法2

条件式を

$$ \log_2 x+\log_2(6-x)\geqq 0 $$

から

$$ \log_2{x(6-x)}\geqq 0 $$

とまとめると、

$$ x(6-x)\geqq 1 $$

である。

また、$0<x<6$ の範囲では二次関数 $x(6-x)$ の最大値は $x=3$ のとき $9$ だから、

$$ 1\leqq x(6-x)\leqq 9 $$

が成り立つ。

ここで

$$ (1+x)(7-x)=7+6x-x^2=x(6-x)+7 $$

であるから、求める式

$$ \log_2(1+x)+\log_2(7-x) $$

は

$$ \log_2{(1+x)(7-x)}=\log_2{x(6-x)+7} $$

となる。

よって

$$ 1\leqq x(6-x)\leqq 9 $$

から

$$ 8\leqq x(6-x)+7\leqq 16 $$

であり、底が $2>1$ なので

$$ 3\leqq \log_2{x(6-x)+7}\leqq 4 $$

となる。

したがって、求める値の範囲は

$$ 3\leqq \log_2(1+x)+\log_2(7-x)\leqq 4 $$

である。

解説

この問題の核心は、条件式と求める式の両方を積の形に直すことである。

特に

$$ (1+x)(7-x)=x(6-x)+7 $$

と変形できることに気づけば、条件から得られる $x(6-x)\geqq 1$ をそのまま利用できる。したがって、解法2が最も見通しがよい。

一方、解法1のように平方完成して範囲を出す方法も典型的であり、二次関数の最大最小に慣れていれば確実に処理できる。

答え

$$ 3\leqq \log_2(1+x)+\log_2(7-x)\leqq 4 $$

したがって、とりうる値の範囲は

$$ [3,4] $$

である。