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数学2 指数対数「対数関数」の問題31 解説

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数学2指数対数対数関数問題31

解説

底の変換公式

$$ \log_{15}\sqrt[3]{60}=\frac{\log_{10}\sqrt[3]{60}}{\log_{10}15} $$

を用いて、分子・分母をそれぞれ $a,\ b$ で表す。特に $\log_{10}5$ を $a$ で表せるようにするのが初手である。

$\log_{10}2=a$ より、

$$ \log_{10}5=\log_{10}\frac{10}{2}=\log_{10}10-\log_{10}2=1-a $$

である。

したがって、

$$ \log_{10}15=\log_{10}3+\log_{10}5=b+(1-a)=1-a+b $$

となる。

また、

$$ \log_{10}\sqrt[3]{60} =\frac{1}{3}\log_{10}60 $$

であり、

$$ \log_{10}60 =\log_{10}(2^2\cdot 3\cdot 5) =2\log_{10}2+\log_{10}3+\log_{10}5 =2a+b+(1-a) =a+b+1 $$

だから、

$$ \log_{10}\sqrt[3]{60}=\frac{a+b+1}{3} $$

である。

よって、底の変換公式より

$$ \log_{15}\sqrt[3]{60} =\frac{\log_{10}\sqrt[3]{60}}{\log_{10}15} =\frac{(a+b+1)/3}{1-a+b} =\frac{a+b+1}{3(1-a+b)} $$

となる。

この問題の要点は、与えられていない $\log_{10}5$ を

$$ \log_{10}5=\log_{10}\frac{10}{2}=1-a $$

と直すことである。これができれば、$15=3\cdot 5$、$60=2^2\cdot 3\cdot 5$ と素因数分解して、すべて $a,\ b$ で処理できる。対数の底が $15$ で扱いにくいので、最初に常用対数へ直すのが自然な方針である。

$$ \log_{15}\sqrt[3]{60}=\frac{a+b+1}{3(1-a+b)} $$