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数学2 指数対数「対数関数」の問題32 解説

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数学2指数対数対数関数問題32

解説

$2^x=7,\ 3^y=7$ から、それぞれ $x,\ y$ を対数で表す。そのうえで、逆数を底の変換公式で処理すれば、和を1つの対数にまとめられる。

$2^x=7$ より、

$$ x=\log_2 7 $$

である。したがって、

$$ \frac{1}{x}=\frac{1}{\log_2 7}=\log_7 2 $$

となる。

同様に、$3^y=7$ より、

$$ y=\log_3 7 $$

であるから、

$$ \frac{1}{y}=\frac{1}{\log_3 7}=\log_7 3 $$

となる。

よって、

$$ \frac{1}{x}+\frac{1}{y} =\log_7 2+\log_7 3 =\log_7 (2\cdot 3) =\log_7 6 $$

である。

指数方程式 $a^t=b$ を見たら、まず $t=\log_a b$ と直すのが基本である。

また、

$$ \frac{1}{\log_a b}=\log_b a $$

という底の変換の形を使うと、逆数が自然に処理できる。最後は対数の加法公式

$$ \log_7 2+\log_7 3=\log_7 6 $$

を用いるだけである。

$$ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\log_7 6 $$

したがって、$[\ ]$ に入る数は

$$ 6 $$

である。