解説

方針・初手

共通の値を $t=\sqrt[4]{6}$ とおくと、

$$ 2^x=t,\quad 3^y=t,\quad 24^z=t $$

であるから、$x,y,z$ はそれぞれ対数で表せる。すると $\dfrac{1}{x},\dfrac{1}{y},\dfrac{1}{z}$ が簡単な形になり、和や差を直接計算できる。

解法1

$t=\sqrt[4]{6}=6^{1/4}$ とおく。

まず、

$$ 2^x=t $$

より、

$$ x=\log_2 t=\log_2 6^{1/4}=\frac{1}{4}\log_2 6 $$

である。したがって、

$$ \frac{1}{x}=\frac{4}{\log_2 6}=4\log_6 2 $$

となる。

同様に、

$$ 3^y=t $$

より、

$$ y=\log_3 t=\log_3 6^{1/4}=\frac{1}{4}\log_3 6 $$

であるから、

$$ \frac{1}{y}=4\log_6 3 $$

である。

さらに、

$$ 24^z=t $$

より、

$$ z=\log_{24} t=\log_{24} 6^{1/4}=\frac{1}{4}\log_{24} 6 $$

なので、

$$ \frac{1}{z}=4\log_6 24 $$

となる。

以上を用いて、まず $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$ を求めると、

$$ \frac{1}{x}+\frac{1}{y} =4\log_6 2+4\log_6 3 =4\log_6 6 =4 $$

である。

次に、

$$ \frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{z} =4\log_6 2-4\log_6 3-4\log_6 24 $$

であるが、

$$ \log_6 24=\log_6 (2^3\cdot 3)=3\log_6 2+\log_6 3 $$

より、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{z} &=4\log_6 2-4\log_6 3-4(3\log_6 2+\log_6 3)\\ &=-8\log_6 2-8\log_6 3\\ &=-8(\log_6 2+\log_6 3)\\ &=-8\log_6 6\\ &=-8 \end{aligned} $$

となる。

解説

共通の値が与えられている指数方程式では、それぞれの指数を対数で表し、逆数に直して整理するのが基本方針である。

この問題では $\dfrac{1}{x},\dfrac{1}{y},\dfrac{1}{z}$ が

$$ 4\log_6 2,\quad 4\log_6 3,\quad 4\log_6 24 $$

となり、対数の加法公式

$$ \log_a b+\log_a c=\log_a (bc) $$

を使うと一気に計算できる。特に、底をすべて $6$ にそろえるのが要点である。

答え

**(ア)**

$4$

**(イ)**

$-8$