解説

方針・初手

まず与式から $x,y$ の符号を確認する。

$x^3=48y^2,\ y^5=54x^2$ より、右辺はいずれも $0$ 以上であるから

$$ x\geqq 0,\quad y\geqq 0 $$

である。

さらに $x=0$ なら $48y^2=0$ となるので $y=0$、逆に $y=0$ なら $54x^2=0$ となるので $x=0$ である。したがって $(x,y)=(0,0)$ は実際に解である。

一方、問題文の指示どおり対数を使うには $x>0,\ y>0$ の場合を考えればよい。この非零解を対数で求める。

解法1

$10$ を底とする対数を $\log$ と書く。

$x^3=48y^2$ より

$$ 3\log x=\log 48+2\log y $$

ここで

$$ \log 48=\log(2^4\cdot 3)=4\log 2+\log 3 $$

であるから

$$ 3\log x-2\log y=4\log 2+\log 3 $$

したがって

$$ [ア]=3,\quad [イ]=2,\quad [ウ]=4 $$

である。

次に、$y^5=54x^2$ より

$$ 5\log y=\log 54+2\log x $$

また

$$ \log 54=\log(2\cdot 3^3)=\log 2+3\log 3 $$

であるから

$$ -2\log x+5\log y=\log 2+3\log 3 $$

ここで

$$ a=\log x,\quad b=\log y $$

とおくと、

$$ \begin{cases} 3a-2b=4\log 2+\log 3 \\ -2a+5b=\log 2+3\log 3 \end{cases} $$

を得る。

第1式を $5$ 倍、第2式を $2$ 倍して加えると

$$ 11a=22\log 2+11\log 3 $$

よって

$$ a=2\log 2+\log 3=\log 12 $$

したがって

$$ x=12 $$

同様に、第1式を $2$ 倍、第2式を $3$ 倍して加えると

$$ 11b=11\log 2+11\log 3 $$

よって

$$ b=\log 2+\log 3=\log 6 $$

したがって

$$ y=6 $$

以上より、対数を用いて得られる非零解は

$$ x=12,\quad y=6 $$

である。したがって

$$ [エ]=12,\quad [オ]=6 $$

解説

対数を使うと、べき乗の関係を $\log x,\log y$ の一次方程式に直せる。この問題ではそこが中心である。

ただし、$\log x,\log y$ を用いるには $x>0,\ y>0$ が必要である。実際には $(x,y)=(0,0)$ も元の方程式を満たすので、厳密には最初に $0$ の場合を切り分ける必要がある。

答え

$$ [ア]=3,\quad [イ]=2,\quad [ウ]=4,\quad [エ]=12,\quad [オ]=6 $$

なお、元の連立方程式の実数解全体は

$$ (x,y)=(0,0),\ (12,6) $$

である。