解説

方針・初手

対数の底が $4$ と $\dfrac18$ で混在しているので、$\log_2 x$ にそろえるのが自然である。

$x>0$ として

$$ t=\log_2 x $$

とおくと、$x=\dfrac18$ のとき $t=-3$ である。また、与式は $t$ の2次関数に直せるので、「$x=\dfrac18$ のとき最大値をとる」という条件を頂点条件として使えばよい。

解法1

$t=\log_2 x$ とおくと、

$$ \log_4 x=\frac{\log_2 x}{\log_2 4}=\frac{t}{2}, \qquad \log_{1/8}x=\frac{\log_2 x}{\log_2(1/8)}=\frac{t}{-3}=-\frac{t}{3} $$

である。

したがって

$$ y=a\left(\frac{t}{2}\right)^2+b\left(-\frac{t}{3}\right)-10 =\frac{a}{4}t^2-\frac{b}{3}t-10 $$

となる。

これは $t$ の2次関数であり、$x=\dfrac18$ のとき最大値 $-1$ をとるので、$t=-3$ のとき頂点をもち、その値が $-1$ である。

まず、頂点の $t$ 座標が $-3$ であることより、

$$ -\frac{-b/3}{2(a/4)}=-3 $$

すなわち

$$ \frac{2b}{3a}=-3 $$

であるから、

$$ 2b=-9a $$

を得る。

次に、$t=-3$ のときの値が $-1$ であるから、

$$ \frac{a}{4}\cdot 9-\frac{b}{3}\cdot(-3)-10=-1 $$

よって

$$ \frac{9a}{4}+b-10=-1 $$

すなわち

$$ \frac{9a}{4}+b=9 $$

である。

ここで $2b=-9a$ より

$$ b=-\frac{9a}{2} $$

だから、これを代入すると

$$ \frac{9a}{4}-\frac{9a}{2}=9 $$

$$ -\frac{9a}{4}=9 $$

$$ a=-4 $$

となる。

解説

この問題の要点は、$x$ を直接扱うのではなく $t=\log_2 x$ とおいて2次関数に直すことである。

すると「$x=\dfrac18$ のとき最大値をとる」という条件は、「$t=-3$ のとき頂点をもつ」という標準的な2次関数の条件に言い換えられる。さらに、最大値そのものも与えられているので、頂点の位置と値の2条件から係数を決定できる。

答え

$$ a=-4 $$