基礎問題集
数学2 指数対数「対数関数」の問題36 解説
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解説
方針・初手
$\log_{10}x,\ \log_{10}y$ を新しい文字で置くと，条件 $xy=100$ は和が一定という形になる。
したがって，求める式を1変数で表して最小値を調べればよい。
解法1
$$ a=\log_{10}x,\quad b=\log_{10}y $$
とおくと，$xy=100$ より
$$ a+b=\log_{10}(xy)=\log_{10}100=2 $$
である。
求める式は
$$ a^3+b^3 $$
であるから，$b=2-a$ を代入して
$$ a^3+(2-a)^3 $$
を考えればよい。
これを展開すると，
$$ \begin{aligned} a^3+(2-a)^3 &=a^3+\left(8-12a+6a^2-a^3\right) \\ &=6a^2-12a+8 \\ &=6(a-1)^2+2 \end{aligned} $$
となる。
ここで $(a-1)^2\geqq 0$ であるから，
$$ 6(a-1)^2+2 \geqq 2 $$
より，最小値は
$$ 2 $$
である。
等号成立は
$$ a=1 $$
のときであり，このとき
$$ b=2-a=1 $$
である。
したがって，
$$ \log_{10}x=1,\quad \log_{10}y=1 $$
より
$$ x=10,\quad y=10 $$
である。
解説
条件 $xy=100$ は対数をとると $\log_{10}x+\log_{10}y=2$ となり，和が一定の問題に変わる。
このようなときは，1文字を消去して2次式や平方完成の形に持ち込むと最小値がすぐに分かる。本問では
$$ a^3+(2-a)^3=6(a-1)^2+2 $$
となるのが決定的である。
答え
最小値は
$$ 2 $$
であり，そのとき
$$ x=10,\quad y=10 $$
である。