解説

方針・初手

$\log_2 x$ を 1 つの文字でおくと、与えられた式は 2 次式として整理できる。

区間 $1 \leqq x \leqq 8$ は、$\log_2 x$ の区間に直して考えると最大値・最小値が判定しやすい。

解法1

$t=\log_2 x$ とおく。

このとき

$$ \log_2 \frac{x}{8}=\log_2 x-\log_2 8=t-3 $$

であり、また

$$ \log_2 2x=\log_2 2+\log_2 x=1+t $$

であるから、

$$ y=\left(\log_2 \frac{x}{8}\right)(\log_2 2x)=(t-3)(t+1) $$

となる。これを展開すると

$$ y=t^2-2t-3 $$

である。したがって

$$ y=(\log_2 x)^2-2\log_2 x-3 $$

より、

$$ [ア]=2,\quad [イ]=3 $$

である。

次に、$1 \leqq x \leqq 8$ より

$$ 0 \leqq \log_2 x \leqq 3 $$

すなわち

$$ 0 \leqq t \leqq 3 $$

である。

ここで

$$ y=t^2-2t-3=(t-1)^2-4 $$

と変形できる。上に開く放物線であるから、頂点 $t=1$ で最小値をとる。

$t=1$ のとき

$$ y=1-2-3=-4 $$

であり、$\log_2 x=1$ だから

$$ x=2 $$

である。したがって

$$ [オ]=2,\quad [カ]=-4 $$

である。

最大値は区間の端で調べればよい。

**(i)**

$t=0$ のとき

$$ y=0-0-3=-3 $$

このとき $x=1$ である。

**(ii)**

$t=3$ のとき

$$ y=9-6-3=0 $$

このとき $x=8$ である。

よって最大値は $0$ で、そのとき $x=8$ である。したがって

$$ [ウ]=8,\quad [エ]=0 $$

となる。

解説

この問題の要点は、対数をそのまま扱わず $t=\log_2 x$ とおいて 2 次関数に直すことである。

また、$x$ の範囲 $1 \leqq x \leqq 8$ を $t$ の範囲 $0 \leqq t \leqq 3$ に直すのが重要である。そうすると、頂点で最小、端点で最大を判定できる。

答え

$$ [ア]=2,\quad [イ]=3,\quad [ウ]=8,\quad [エ]=0,\quad [オ]=2,\quad [カ]=-4 $$