解説

方針・初手

$\log_{10}x$ を文字 $t$ とおくと、与えられた式は $t$ の2次式になる。

また、$1\leqq x\leqq 1000$ から $t=\log_{10}x$ の範囲もすぐに決まるので、その区間で2次関数の最大値・最小値を調べればよい。

解法1

$t=\log_{10}x$ とおく。

このとき

$$ 0=\log_{10}1\leqq \log_{10}x \leqq \log_{10}1000=3 $$

より

$$ 0\leqq t\leqq 3 $$

である。

また、

$$ \log_{10}\frac{1}{x}=\log_{10}x^{-1}=-\log_{10}x=-t $$

であるから、

$$ y=(\log_{10}x)^2+4\log_{10}\frac{1}{x}+5 =t^2+4(-t)+5 =t^2-4t+5 $$

となる。

これを平方完成すると、

$$ y=t^2-4t+5=(t-2)^2+1 $$

である。

ここで $0\leqq t\leqq 3$ なので、$(t-2)^2$ の最小値は $t=2$ のとき $0$ である。したがって、

$$ y_{\min}=1 $$

であり、このとき

$$ t=2 \iff \log_{10}x=2 \iff x=100 $$

である。

次に最大値を調べる。$y=(t-2)^2+1$ は上に開く放物線なので、区間 $0\leqq t\leqq 3$ における最大値は端点で生じる。

**(i)**

$t=0$ のとき

$$ y=0^2-4\cdot 0+5=5 $$

**(ii)**

$t=3$ のとき

$$ y=3^2-4\cdot 3+5=9-12+5=2 $$

よって最大値は

$$ y_{\max}=5 $$

であり、このとき $t=0$、すなわち $x=1$ である。

解説

この問題の要点は、対数の式をそのまま扱わず、$t=\log_{10}x$ とおいて2次関数に直すことである。

さらに、$\log_{10}\dfrac{1}{x}=-\log_{10}x$ を正確に変形できることと、$1\leqq x\leqq 1000$ から $0\leqq t\leqq 3$ を対応させることが重要である。あとは区間つき2次関数の最大・最小の基本処理である。

答え

最大値は $5$、最小値は $1$ である。

そのとき

最大値 $5$ は $x=1$ のとき

最小値 $1$ は $x=100$ のとき

である。