解説

方針・初手

対数関数 $\log_{10} t$ は $t>0$ で単調増加であるから、

$$ \log_{10}x+\log_{10}y=\log_{10}(xy),\qquad \log_{10}x+2\log_{10}y=\log_{10}(xy^2) $$

より、前者は $xy$ の最大化、後者は $xy^2$ の最大化に言い換えればよい。

また、条件 $x+2y=8$ をうまく使うため、必要に応じて

$$ \frac{x}{2}+y=4 $$

や

$$ x+y+y=8 $$

と見直す。

解法1

まず

$$ \log_{10}x+\log_{10}y=\log_{10}(xy) $$

であるから、$xy$ を最大にすればよい。

条件 $x+2y=8$ より

$$ \frac{x}{2}+y=4 $$

である。ここで、和が一定のとき積 $\dfrac{x}{2}y$ は 2 数が等しいとき最大になるから、

$$ \frac{x}{2}=y $$

のとき最大となる。したがって

$$ x=2y $$

であり、これを $x+2y=8$ に代入すると

$$ 2y+2y=8 $$

より

$$ y=2,\qquad x=4 $$

となる。

このとき

$$ xy=4\cdot 2=8 $$

であるから、

$$ \log_{10}x+\log_{10}y=\log_{10}(xy)\leqq \log_{10}8 $$

で、最大値は $(x,y)=(4,2)$ において

$$ \log_{10}8 $$

である。

次に

$$ \log_{10}x+2\log_{10}y=\log_{10}(xy^2) $$

であるから、$xy^2$ を最大にすればよい。

条件 $x+2y=8$ は

$$ x+y+y=8 $$

と書ける。ここで、和が一定の 3 数 $x,y,y$ の積 $xy^2$ は 3 数が等しいとき最大になるから、

$$ x=y $$

のとき最大となる。よって

$$ x=y=\frac{8}{3} $$

である。

このとき

$$ xy^2=\frac{8}{3}\left(\frac{8}{3}\right)^2=\frac{512}{27} $$

であるから、

$$ \log_{10}x+2\log_{10}y=\log_{10}(xy^2)\leqq \log_{10}\frac{512}{27} $$

で、最大値は $(x,y)=\left(\dfrac{8}{3},\dfrac{8}{3}\right)$ において

$$ \log_{10}\frac{512}{27} $$

である。

解説

対数の最大最小では、まず対数の和を積の対数に直すのが基本である。すると、単調増加性により「中身の積を最大化する問題」に帰着できる。

前半は $\dfrac{x}{2}+y=4$ と見ることで 2 数の積の最大、後半は $x+y+y=8$ と見ることで 3 数の積の最大に持ち込める。等号成立条件を丁寧に確認することが重要である。

答え

$$ \text{[ア]}=(4,2),\qquad \text{[イ]}=\log_{10}8 $$

$$ \text{[ウ]}=\left(\frac{8}{3},\frac{8}{3}\right),\qquad \text{[エ]}=\log_{10}\frac{512}{27} $$