解説

方針・初手

$\log_4 x=\dfrac12\log_2 x$ を用いて、指数部分を同じ文字で表せる形にそろえる。すると $3^{-\frac12\log_2 x}$ を文字で置くことで 2次方程式に帰着できる。

解法1

定義域より

$$ x>0 $$

である。

ここで

$$ \log_4 x=\frac{\log_2 x}{\log_2 4}=\frac12\log_2 x $$

であるから、方程式は

$$ 3^{2-\log_2 x}+26\cdot 3^{-\frac12\log_2 x}-3=0 $$

となる。

そこで

$$ t=3^{-\frac12\log_2 x} $$

とおくと、$t>0$ であり、

$$ 3^{2-\log_2 x} =3^2\cdot 3^{-\log_2 x} =9\left(3^{-\frac12\log_2 x}\right)^2 =9t^2 $$

である。また

$$ 26\cdot 3^{-\frac12\log_2 x}=26t $$

なので、もとの方程式は

$$ 9t^2+26t-3=0 $$

となる。これを解くと

$$ (9t-1)(t+3)=0 $$

より

$$ t=\frac19,\ -3 $$

を得る。ところが $t>0$ であるから

$$ t=\frac19 $$

である。

したがって

$$ 3^{-\frac12\log_2 x}=\frac19=3^{-2} $$

より、指数を比較して

$$ -\frac12\log_2 x=-2 $$

すなわち

$$ \log_2 x=4 $$

となる。よって

$$ x=2^4=16 $$

である。

解説

この問題の要点は、$\log_4 x=\dfrac12\log_2 x$ を用いて指数の中身をそろえることである。そこまでできれば、$3^{-\frac12\log_2 x}$ を1つの文字で置くことで、指数方程式が通常の2次方程式に落ちる。最後は置いた文字 $t$ が正であることを使って不要な解を除けばよい。

答え

$$ x=16 $$