解説

方針・初手

底が $0<a<1$ であるから，対数関数 $\log_a t$ は単調減少である。したがって，不等式を解くには，まず定義域を確認したうえで対数をはずし，2次不等式に直すのが基本方針である。

そのあと，（1） は解の範囲を求め，（2） はその範囲に入る正の整数がちょうど1個になる条件を調べればよい。

解法1

不等式

$$ 2\log_a(x+a)>\log_a(2x+2) $$

を考える。

まず対数の定義域より

$$ x+a>0,\quad 2x+2>0 $$

でなければならない。

$0<a<1$ であるから $-a>-1$ であり，結局定義域は

$$ x>-a $$

である。

また，$x+a>0$ より

$$ 2\log_a(x+a)=\log_a (x+a)^2 $$

と書ける。したがって不等式は

$$ \log_a (x+a)^2>\log_a(2x+2) $$

となる。

ここで $\log_a t$ は単調減少なので，

$$ (x+a)^2<2x+2 $$

と同値である。これを整理すると

$$ x^2+2ax+a^2-2x-2<0 $$

すなわち

$$ x^2+2(a-1)x+(a^2-2)<0 $$

である。

この2次方程式の解は

$$ x=1-a\pm \sqrt{3-2a} $$

であるから，不等式の解は

$$ 1-a-\sqrt{3-2a}<x<1-a+\sqrt{3-2a} $$

となる。

ここで左端と定義域 $x>-a$ を比べると，

$$ 1-a-\sqrt{3-2a}<-a $$

である。実際，

$$ 1-a-\sqrt{3-2a}<-a \iff 1<\sqrt{3-2a} $$

であり，$0<a<1$ から $3-2a>1$ なので確かに成り立つ。

よって最終的に，不等式 $(A)$ を満たす $x$ の範囲は

$$ -a<x<1-a+\sqrt{3-2a} $$

である。

次に （2） を考える。

正の整数 $x$ は $x\geq 1$ であり，$-a<0$ だから定義域 $x>-a$ は自動的に満たす。したがって，正の整数解の個数は

$$ x<1-a+\sqrt{3-2a} $$

を満たす正の整数の個数に等しい。

正の整数解がただ1つ存在するための条件は，$x=1$ は入るが $x=2$ は入らないことであるから，

$$ 1<1-a+\sqrt{3-2a}\leq 2 $$

である。

まず左側の不等式は

$$ 1<1-a+\sqrt{3-2a} \iff a<\sqrt{3-2a} $$

である。両辺正なので2乗してよく，

$$ a^2<3-2a \iff a^2+2a-3<0 \iff (a+3)(a-1)<0 $$

となる。これは $0<a<1$ で常に成り立つ。

したがって必要なのは右側

$$ 1-a+\sqrt{3-2a}\leq 2 $$

のみである。これを変形すると

$$ \sqrt{3-2a}\leq 1+a $$

であり，両辺正なので2乗して

$$ 3-2a\leq (1+a)^2 $$

$$ 3-2a\leq 1+2a+a^2 $$

$$ a^2+4a-2\geq 0 $$

を得る。

この2次不等式の解は

$$ a\leq -2-\sqrt{6}\quad \text{または}\quad a\geq -2+\sqrt{6} $$

である。ここで $0<a<1$ なので，

$$ a\geq \sqrt{6}-2 $$

となる。

よって求める $a$ の範囲は

$$ \sqrt{6}-2\leq a<1 $$

である。

解説

この問題の核心は，底が $0<a<1$ のとき対数関数が単調減少になる点である。底が $1$ より大きい場合と不等号の向きが逆になるので，そこを取り違えると全体が崩れる。

また，（2） では （1） の結果をそのまま使い，「正の整数がちょうど1個」という条件を「$1$ は入るが $2$ は入らない」と言い換えるのが最短である。

答え

**(1)**

$$ -a<x<1-a+\sqrt{3-2a} $$

**(2)**

$$ \sqrt{6}-2\leq a<1 $$