解説

方針・初手

対数の加法・減法の公式を用いて、3つの対数を1つにまとめるのが基本方針である。

すなわち、

$$ \log_a x+\log_a y=\log_a(xy),\qquad \log_a x-\log_a y=\log_a\left(\frac{x}{y}\right) $$

を使って整理する。

解法1

与式を

$$ \log_2 \sqrt{24}+\log_2 \sqrt{48}-\log_2 6 $$

とする。

対数の公式より、

$$ \begin{aligned} \log_2 \sqrt{24}+\log_2 \sqrt{48}-\log_2 6 &= \log_2\left(\frac{\sqrt{24}\sqrt{48}}{6}\right) \end{aligned} $$

である。

ここで、

$$ \sqrt{24}\sqrt{48}=\sqrt{24\cdot 48}=\sqrt{1152} $$

であり、

$$ 1152=2^7\cdot 3^2 $$

だから、

$$ \sqrt{1152}=\sqrt{2^7\cdot 3^2}=2^3\cdot 3\sqrt{2}=24\sqrt{2} $$

となる。したがって、

$$ \begin{aligned} \log_2\left(\frac{\sqrt{24}\sqrt{48}}{6}\right) &= \log_2\left(\frac{24\sqrt{2}}{6}\right) \\ \log_2(4\sqrt{2}) \end{aligned} $$

である。

さらに、

$$ 4\sqrt{2}=2^2\cdot 2^{1/2}=2^{5/2} $$

より、

$$ \log_2(4\sqrt{2})=\log_2\left(2^{5/2}\right)=\frac{5}{2} $$

となる。

解説

この問題では、根号の中を先に計算しようとするより、対数の公式で1つにまとめる方が速い。

その後は、真数を $2$ の累乗の形に直せば、$\log_2$ の値がすぐに読める。特に $4\sqrt{2}=2^{5/2}$ と直せるかどうかがポイントである。

答え

$$ \frac{5}{2} $$