基礎問題集
数学2 指数対数「対数関数」の問題43 解説
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解説
方針・初手
それぞれの対数を、指数の形が見やすいように整理する。 特に $25=5^2,\ 16=2^4,\ 8=2^3,\ 27=3^3$ を用いると計算しやすい。
解法1
与式を
$$ \log_2 25 \cdot \log_8 16 \cdot \log_5 27 $$
とする。
まず、
$$ \log_2 25=\log_2 5^2=2\log_2 5 $$
また、
$$ \log_8 16=\log_{2^3} 2^4=\frac{4}{3} $$
さらに、
$$ \log_5 27=\log_5 3^3=3\log_5 3 $$
である。
したがって、与式は
$$ (2\log_2 5)\cdot \frac{4}{3}\cdot (3\log_5 3) $$
となる。ここで $\frac{4}{3}\cdot 3=4$ より、
$$ =8(\log_2 5)(\log_5 3) $$
対数の性質
$$ (\log_a b)(\log_b c)=\log_a c $$
を用いると、
$$ (\log_2 5)(\log_5 3)=\log_2 3 $$
であるから、
$$ 8(\log_2 5)(\log_5 3)=8\log_2 3 $$
よって求める値は
$$ 8\log_2 3 $$
である。
解説
この問題は、各数を冪の形に直してから対数の性質を使うのが基本である。
特に
$$ \log_{2^3}2^4=\frac{4}{3} $$
と
$$ (\log_2 5)(\log_5 3)=\log_2 3 $$
の処理がポイントである。 途中で底がうまくつながる形を見抜けると計算が一気に簡単になる。
答え
$$ 8\log_2 3 $$