解説

方針・初手

与えられた条件

$$ 5^a=2,\qquad 5^b=3 $$

より、ただちに

$$ a=\log_5 2,\qquad b=\log_5 3 $$

である。したがって、$72$ と $1.35$ を $2,3,5$ で表し、対数の性質を用いて整理すればよい。

解法1

まず、$72$ は

$$ 72=2^3\cdot 3^2 $$

と素因数分解できる。よって

$$ \log_5 72=\log_5(2^3\cdot 3^2) =3\log_5 2+2\log_5 3 =3a+2b $$

となる。

次に、$1.35$ は

$$ 1.35=\frac{135}{100}=\frac{27}{20}=\frac{3^3}{2^2\cdot 5} $$

であるから、

$$ \log_5 1.35 =\log_5\left(\frac{3^3}{2^2\cdot 5}\right) =3\log_5 3-2\log_5 2-\log_5 5 $$

ここで $\log_5 5=1$ であるので、

$$ \log_5 1.35=3b-2a-1 $$

となる。

解説

この問題の要点は、$5^a=2,\ 5^b=3$ から $a=\log_5 2,\ b=\log_5 3$ をすぐ読み取ることである。ここに気づけば、あとは真数を素因数分解して、対数の加法・減法公式を使うだけである。

特に $1.35$ は小数のままだと扱いにくいので、まず分数に直してから $2,3,5$ の積や商の形に直すのが基本である。

答え

**(1)**

$$ \log_5 72=3a+2b $$

**(2)**

$$ \log_5 1.35=3b-2a-1 $$