基礎問題集
数学2 指数対数「対数関数」の問題45 解説
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解説
方針・初手
対数の性質
$$ \log(MN)=\log M+\log N,\qquad \log(M^k)=k\log M $$
を用いて、まず $72,\ 96,\ 12$ を素因数分解する。
また、底の異なる対数は底の変換公式
$$ \log_c d=\frac{\log d}{\log c} $$
を用いて処理する。
解法1
**(1)**
$\log_{10}72$ を $a,\ b$ で表す。
$$ 72=2^3\cdot 3^2 $$
より、
$$ \log_{10}72=\log_{10}(2^3\cdot 3^2) =3\log_{10}2+2\log_{10}3 =3a+2b $$
となる。
**(2)**
$\log_{12}\sqrt[3]{96}$ を $a,\ b$ で表す。
まず、
$$ 96=2^5\cdot 3,\qquad 12=2^2\cdot 3 $$
であるから、
$$ \sqrt[3]{96}=96^{1/3}=(2^5\cdot 3)^{1/3}=2^{5/3}3^{1/3} $$
したがって、底の変換公式より
$$ \log_{12}\sqrt[3]{96} =\frac{\log_{10}\sqrt[3]{96}}{\log_{10}12} $$
である。
分子は
$$ \log_{10}\sqrt[3]{96} =\log_{10}(2^{5/3}3^{1/3}) =\frac{5}{3}\log_{10}2+\frac{1}{3}\log_{10}3 =\frac{5a+b}{3} $$
分母は
$$ \log_{10}12=\log_{10}(2^2\cdot 3) =2\log_{10}2+\log_{10}3 =2a+b $$
よって、
$$ \log_{12}\sqrt[3]{96} =\frac{(5a+b)/3}{2a+b} =\frac{5a+b}{3(2a+b)} $$
となる。
解説
この問題の要点は、与えられた $\log_{10}2=a,\ \log_{10}3=b$ を使える形にするため、数を $2$ と $3$ の積で表すことである。
特に （2） では、底が $12$ なのでそのままでは $a,\ b$ を使いにくい。そこで底の変換公式を使い、分子・分母をともに常用対数に直すのが基本方針である。
答え
**(1)**
$\log_{10}72=3a+2b$
**(2)**
$\log_{12}\sqrt[3]{96}=\dfrac{5a+b}{3(2a+b)}$