解説

方針・初手

まず，対数が定義される条件を確認する。

そのうえで，対数の加法公式

$$ \log_3(x-1)+\log_3(x+2)=\log_3{(x-1)(x+2)} $$

を用いて，対数不等式を普通の不等式に直す。

解法1

対数が定義されるためには

$$ x-1>0,\quad x+2>0 $$

でなければならない。したがって，定義域は

$$ x>1 $$

である。

ここで，加法公式より

$$ \log_3(x-1)+\log_3(x+2)=\log_3{(x-1)(x+2)} $$

であるから，与えられた不等式は

$$ \log_3{(x-1)(x+2)}\leqq 2 $$

となる。

底 $3$ は $1$ より大きいので，真数どうしを比較して

$$ (x-1)(x+2)\leqq 3^2=9 $$

を得る。

これを整理すると

$$ x^2+x-2\leqq 9 $$

すなわち

$$ x^2+x-11\leqq 0 $$

である。

方程式

$$ x^2+x-11=0 $$

の解は

$$ x=\frac{-1\pm \sqrt{1+44}}{2} =\frac{-1\pm 3\sqrt{5}}{2} $$

であるから，

$$ \frac{-1-3\sqrt{5}}{2}\leqq x\leqq \frac{-1+3\sqrt{5}}{2} $$

となる。

これと定義域 $x>1$ をあわせると，

$$ 1<x\leqq \frac{-1+3\sqrt{5}}{2} $$

である。

解説

この問題では，最初に定義域 $x>1$ を確認することが重要である。

その後は，対数の加法公式で 1 つの対数にまとめ，底が $3>1$ であることから真数の大小比較に直せばよい。最後は，二次不等式の解と定義域を共通部分で処理するだけである。

答え

$$ 1<x\leqq \frac{3\sqrt{5}-1}{2} $$