解説

方針・初手

外側が $\log_2$ の不等式なので，まず中身を $A$ とおいて

$$ \log_2 A<1 $$

を処理する。

その際，$\log_2 A$ が定義されるためには $A>0$ も必要である。さらに内側の $\log_3(x-1),\log_3(x+7)$ が定義される条件も最初に確認する。

解法1

まず定義域より

$$ x-1>0,\quad x+7>0 $$

であるから，

$$ x>1 $$

である。

ここで

$$ A=\log_3(x-1)+\log_3(x+7) $$

とおくと，与えられた不等式は

$$ \log_2 A<1 $$

となる。

底が $2>1$ なので，これは

$$ 0<A<2 $$

と同値である。

したがって

$$ 0<\log_3(x-1)+\log_3(x+7)<2 $$

である。対数の性質より

$$ \log_3(x-1)+\log_3(x+7)=\log_3{(x-1)(x+7)} $$

だから，

$$ 0<\log_3{(x-1)(x+7)}<2 $$

となる。

底が $3>1$ なので，これは

$$ 1<(x-1)(x+7)<9 $$

と同値である。

これを解く。

まず

$$ (x-1)(x+7)>1 $$

より

$$ x^2+6x-7>1 $$

すなわち

$$ x^2+6x-8>0 $$

である。方程式 $x^2+6x-8=0$ の解は

$$ x=-3\pm\sqrt{17} $$

だから，

$$ x<-3-\sqrt{17}\quad \text{または}\quad x>-3+\sqrt{17} $$

である。

次に

$$ (x-1)(x+7)<9 $$

より

$$ x^2+6x-7<9 $$

すなわち

$$ x^2+6x-16<0 $$

である。これは

$$ (x+8)(x-2)<0 $$

より

$$ -8<x<2 $$

である。

以上をまとめると，

$$ x>1,\quad x>-3+\sqrt{17},\quad -8<x<2 $$

を同時に満たせばよい。

ここで $-3+\sqrt{17}>1$ であるから，最終的に

$$ -3+\sqrt{17}<x<2 $$

となる。

解説

この問題の要点は，外側の対数不等式 $\log_2 A<1$ を処理するときに，単に $A<2$ とするのではなく，対数の定義域から $A>0$ も同時に課すことである。

その後は内側の和を対数の加法公式で 1 つにまとめれば，普通の2次不等式になる。対数不等式であっても，定義域と単調性を丁寧に追えば機械的に処理できる問題である。

答え

$$ -3+\sqrt{17}<x<2 $$

したがって，空欄は

$$ [-3+\sqrt{17}]<x<[2] $$

である。