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数学2 指数対数「対数関数」の問題48 解説

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数学2指数対数対数関数問題48

解説

$y=\log_2\left(\dfrac{x}{2}+3\right)$ を、$y=\log_2 x$ の形に近づけて変形する。

対数の中を $x-a$ の形にし、さらに定数項があれば上下移動として読む。共有点は 2 つの式を連立して求める。

まず、与えられた関数を変形する。

$$ y=\log_2\left(\frac{x}{2}+3\right) =\log_2\left(\frac{x+6}{2}\right) =\log_2(x+6)-\log_2 2 =\log_2(x+6)-1 $$

したがって、

$$ y=\log_2(x+6)-1 $$

である。

ここで、$y=\log_2(x+6)$ は $y=\log_2 x$ のグラフを $x$ 軸方向に左へ $6$ だけ平行移動したものである。さらに $-1$ がついているので、これを $y$ 軸方向に下へ $1$ だけ平行移動したものになる。

よって、（ア）は「左へ $6$」、（イ）は「下へ $1$」である。

次に、2つのグラフの共有点を求める。共有点では $y$ の値が等しいから、

$$ \log_2\left(\frac{x}{2}+3\right)=\log_2 x $$

となる。対数関数は単調増加であるから、中身を等しいとおいてよい。

$$ \frac{x}{2}+3=x $$

これを解くと、

$$ 3=\frac{x}{2} $$

$$ x=6 $$

したがって、共有点の $x$ 座標は $6$ である。

対数関数の平行移動では、まず式を

$$ y=\log_a(x-p)+q $$

の形に直すのが基本である。この形になれば、$x$ 軸方向には $p$、$y$ 軸方向には $q$ だけ移動したと読める。

また、共有点は 2 つの式を等しいとおいて求める。底が同じ対数どうしの等式では、中身を等しいとできることが重要である。

**(ア)**

左へ $6$

**(イ)**

下へ $1$

**(ウ)**

$6$