解説

方針・初手

対数の基本性質

$$ \log_a M+\log_a N=\log_a(MN) $$

を用いる。また、対数では真数条件を先に確認することが重要である。不等式では、対数をまとめたあとで二次不等式に直す。

解法1

まず、

$$ \log_3 9-\log_2 8 $$

を計算する。

$9=3^2$ より

$$ \log_3 9=2 $$

であり、$8=2^3$ より

$$ \log_2 8=3 $$

である。したがって、

$$ \log_3 9-\log_2 8=2-3=-1 $$

となる。

次に、方程式

$$ \log_3(x-2)+\log_3(2x-7)=2 $$

を解く。

まず真数条件より

$$ x-2>0,\quad 2x-7>0 $$

であるから、

$$ x>2,\quad x>\frac{7}{2} $$

より

$$ x>\frac{7}{2} $$

である。

ここで対数の和をまとめると、

$$ \log_3{(x-2)(2x-7)}=2 $$

となる。したがって、

$$ (x-2)(2x-7)=3^2=9 $$

である。

展開すると

$$ 2x^2-11x+14=9 $$

すなわち

$$ 2x^2-11x+5=0 $$

である。

これを解くと

$$ (2x-1)(x-5)=0 $$

より

$$ x=\frac{1}{2},\ 5 $$

を得る。しかし真数条件 $x>\dfrac{7}{2}$ を満たすのは $x=5$ のみである。

よって、方程式の解は

$$ x=5 $$

である。

最後に、不等式

$$ \log_2(x+1)+\log_2(x-2)<2 $$

を解く。

まず真数条件より

$$ x+1>0,\quad x-2>0 $$

であるから、

$$ x>2 $$

である。

対数の和をまとめると

$$ \log_2{(x+1)(x-2)}<2 $$

となる。底 $2$ は $1$ より大きいので、真数同士を比較して

$$ (x+1)(x-2)<2^2=4 $$

である。

整理すると

$$ x^2-x-2<4 $$

すなわち

$$ x^2-x-6<0 $$

である。

因数分解して

$$ (x-3)(x+2)<0 $$

より

$$ -2<x<3 $$

を得る。これと真数条件 $x>2$ を合わせると

$$ 2<x<3 $$

となる。

解説

この問題では、対数の計算・方程式・不等式のいずれでも、まず真数条件を確認することが要点である。特に方程式では、代数的に出た解をそのまま採用せず、真数条件に合うかどうかを必ず確認する必要がある。

また、不等式では

$$ \log_a M<\log_a N $$

あるいは

$$ \log_a M<c $$

を、底 $a>1$ のときはそのまま真数の大小関係に直せることが基本である。

答え

$$ [オ]=-1 $$

$$ [カ]=5 $$

$$ [キ]; 2<x<3 $$