解説

方針・初手

$x,y$ は対数の真数であるから、$x>0,\ y>0$ である。

第2式 $x^2y=2$ は、そのまま対数をとると $\log_2 x,\log_2 y$ の一次式になる。したがって

$$ a=\log_2 x,\quad b=\log_2 y $$

とおいて、$a,b$ の連立方程式に直して解くのが自然である。

解法1

$$ a=\log_2 x,\quad b=\log_2 y $$

とおくと、第1式は

$$ 4a^2+2b=1 $$

となる。

また、第2式 $x^2y=2$ の両辺の底 $2$ の対数をとると、

$$ \log_2(x^2y)=\log_2 2 $$

より

$$ 2\log_2 x+\log_2 y=1 $$

すなわち

$$ 2a+b=1 $$

である。

よって、$a,b$ についての連立方程式

$$ \begin{cases} 4a^2+2b=1\\ 2a+b=1 \end{cases} $$

を解けばよい。

第2式から

$$ b=1-2a $$

であるから、これを第1式に代入すると

$$ 4a^2+2(1-2a)=1 $$

$$ 4a^2-4a+1=0 $$

$$ (2a-1)^2=0 $$

となるので、

$$ a=\frac12 $$

である。

これを $2a+b=1$ に代入すると

$$ 2\cdot \frac12+b=1 $$

より

$$ b=0 $$

となる。

したがって

$$ \log_2 x=\frac12,\quad \log_2 y=0 $$

であるから、

$$ x=2^{1/2}=\sqrt{2},\quad y=2^0=1 $$

を得る。

解説

この問題の要点は、第2式 $x^2y=2$ を対数で処理して、第1式と同じく $\log_2 x,\log_2 y$ を文字とみなせる形にそろえることである。

はじめから $x,y$ を直接求めようとすると見通しが悪いが、

$$ a=\log_2 x,\quad b=\log_2 y $$

とおけば、2本の式は $a,b$ に関する方程式になる。特に第2式は一次式になるので、代入で整理しやすい。

答え

$$ x=\sqrt{2},\quad y=1 $$

したがって、

**[4]** $=\sqrt{2}$、**[5]** $=1$ である。