基礎問題集
数学2 指数対数「対数関数」の問題51 解説
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解説
方針・初手
$8=2^3,\ 27=3^3$ と見て、対数の指数を前に出す。 そのうえで、$\log_3 2$ と $\log_2 3$ が逆数の関係にあることを押さえる。
解法1
まず、$8=2^3,\ 27=3^3$ より、
$$ \log_3 8=\log_3 2^3=3\log_3 2,\qquad \log_2 27=\log_2 3^3=3\log_2 3 $$
である。
したがって、
$$ \log_3 8+\log_2 27 =3\log_3 2+3\log_2 3 =3(\log_3 2+\log_2 3) $$
となる。
解説
この問題では、$8$ と $27$ をそれぞれ $2$ と $3$ の累乗に直すのが基本である。 対数の性質
$$ \log_a b^n=n\log_a b $$
を使えば、与式はすぐに整理できる。
また、$\log_3 2$ と $\log_2 3$ には
$$ \log_3 2=\frac{1}{\log_2 3} $$
という関係があるが、この問題では
$$ 3(\log_3 2+\log_2 3) $$
の形までまとめれば十分である。
答え
$$ 3(\log_3 2+\log_2 3) $$