解説

方針・初手

対数方程式では、まず底の条件を確認したうえで、$\log_a b=2$ を $b=a^2$ に直すのが基本である。

したがって、底 $x-1$ に対して

$$ x-1>0,\quad x-1\ne 1 $$

すなわち

$$ x>1,\quad x\ne 2 $$

を満たすことを前提に、真数と底の関係を式に直して解く。

解法1

与えられた方程式は

$$ \log_{x-1}(x^3-3x^2-x+3)=2 $$

である。

対数の定義より、底 $x-1$ が正で $1$ でないとき、

$$ x^3-3x^2-x+3=(x-1)^2 $$

が成り立つ。

これを整理すると

$$ x^3-3x^2-x+3-(x^2-2x+1)=0 $$

より

$$ x^3-4x^2+x+2=0 $$

となる。

$x=1$ を代入すると確かに $0$ になるので、$(x-1)$ を因数にもつ。よって

$$ x^3-4x^2+x+2=(x-1)(x^2-3x-2) $$

である。

したがって

$$ (x-1)(x^2-3x-2)=0 $$

より

$$ x=1,\quad x=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2} $$

を得る。

ここで底の条件 $x>1,\ x\ne 2$ を課すと、$x=1$ は不適であり、

$$ \frac{3-\sqrt{17}}{2}<0 $$

なのでこれも不適である。

したがって残るのは

$$ x=\frac{3+\sqrt{17}}{2} $$

のみである。

なお、このとき真数は

$$ x^3-3x^2-x+3=(x-1)^2>0 $$

となるので、真数条件も満たしている。

解説

この問題の要点は、対数方程式を解く前に底の条件を落とさないことである。$\log_a b=2$ からただちに $b=a^2$ としてよいのは、$a>0,\ a\ne 1$ が成り立つときに限られる。

また、方程式を解いて得られた解をそのまま採用せず、最後に必ず底と真数の条件でふるい落とす必要がある。ここでは $x=1$ が計算上は出てくるが、底が $0$ になるため不適である。

答え

$$ x=\frac{3+\sqrt{17}}{2} $$

したがって、$\boxed{\frac{3+\sqrt{17}}{2}}$ である。