解説

方針・初手

$x=3+\sqrt{2}$ をそのまま代入して計算すると煩雑である。

そこで、$x=3+\sqrt{2}$ が満たす2次方程式を作り、$x^2,\ x^3$ を $x$ の1次式に直してから

$$ 2x^3-11x^2+9x+4 $$

を簡単にする。

解法1

$x=3+\sqrt{2}$ より

$$ x-3=\sqrt{2} $$

であるから、

$$ (x-3)^2=2 $$

となる。これを整理すると

$$ x^2-6x+7=0 $$

したがって

$$ x^2=6x-7 $$

である。

さらに、

$$ x^3=x\cdot x^2=x(6x-7)=6x^2-7x $$

であり、ここで $x^2=6x-7$ を用いると

$$ x^3=6(6x-7)-7x=29x-42 $$

となる。

よって、

$$ \begin{aligned} 2x^3-11x^2+9x+4 &=2(29x-42)-11(6x-7)+9x+4 \\ &=58x-84-66x+77+9x+4 \\ &=x-3 \end{aligned} $$

したがって

$$ 2x^3-11x^2+9x+4=x-3=\sqrt{2} $$

である。

ゆえに求める値は

$$ \log_4(\sqrt{2}) $$

である。

ここで

$$ 4=2^2,\qquad \sqrt{2}=2^{1/2} $$

より、

$$ \log_4(\sqrt{2})=\log_{2^2}(2^{1/2})=\frac{1/2}{2}=\frac14 $$

解説

この問題の要点は、$x=3+\sqrt{2}$ を直接3乗まで展開しないことである。

$x=3+\sqrt{2}$ から

$$ x^2-6x+7=0 $$

を作れば、$x^2,\ x^3$ を順に低次化できる。すると与式が

$$ x-3=\sqrt{2} $$

まで簡単になり、対数の計算もすぐ終わる。

答え

$[①]=\dfrac14$