解説

方針・初手

対数の底が $6$ や $8$ のままでは比較しにくいので、正の定数倍をして対数の形をそろえるか、底の変換を用いて同じ文字で表す。

解法1

**(1)**

$$ A=\frac{1}{3}\log_6 2,\qquad B=\frac{1}{5}\log_6 3 $$

を比べる。

正の数 $15$ を掛けると、

$$ 15A=5\log_6 2=\log_6 2^5=\log_6 32, $$

$$ 15B=3\log_6 3=\log_6 3^3=\log_6 27 $$

となる。

ここで $32>27$ であり、底 $6>1$ なので対数関数は増加関数である。したがって、

$$ \log_6 32>\log_6 27 $$

より

$$ 15A>15B $$

である。よって、

$$ \frac{1}{3}\log_6 2>\frac{1}{5}\log_6 3 $$

となる。

**(2)**

$$ A=\frac{1}{5}\log_8 3,\qquad B=\frac{\log_6 2\times \log_6 9}{4} $$

を比べる。

まず $t=\log_2 3$ とおく。

すると

$$ \log_8 3=\frac{\log_2 3}{\log_2 8}=\frac{t}{3} $$

より、

$$ A=\frac{1}{5}\cdot \frac{t}{3}=\frac{t}{15} $$

である。

次に、

$$ \log_6 2=\frac{\log_2 2}{\log_2 6}=\frac{1}{1+t}, \qquad \log_6 3=\frac{\log_2 3}{\log_2 6}=\frac{t}{1+t} $$

だから、

$$ \log_6 9=2\log_6 3=\frac{2t}{1+t} $$

となる。したがって、

$$ B=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{1+t}\cdot \frac{2t}{1+t} =\frac{t}{2(1+t)^2} $$

である。

よって、$A$ と $B$ の比較は

$$ \frac{t}{15} \quad と \quad \frac{t}{2(1+t)^2} $$

の比較になる。ここで $t>0$ なので、分母を比べればよい。

$3^5=243<256=2^8$ より、

$$ \log_2 3<\frac{8}{5} $$

すなわち

$$ t<\frac{8}{5} $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} 2(1+t)^2 &<2\left(1+\frac{8}{5}\right)^2 &= 2\left(\frac{13}{5}\right)^2 \\ &=\frac{338}{25}\\ &<15 \end{aligned} $$

となる。

よって

$$ \frac{1}{2(1+t)^2}>\frac{1}{15} $$

であり、$t>0$ だから

$$ \frac{t}{2(1+t)^2}>\frac{t}{15} $$

すなわち

$$ B>A $$

である。したがって、

$$ \frac{1}{5}\log_8 3<\frac{\log_6 2\times \log_6 9}{4} $$

となる。

解説

（1） は、分数係数を整数倍して $ \log_6 32$ と $\log_6 27$ の比較に直すのが最短である。底が $1$ より大きい対数は増加関数なので、中身の大小だけを見ればよい。

（2） は、そのままでは見通しが悪いので、$t=\log_2 3$ とおいて全部を $t$ で表すのが有効である。最後は $3^5<2^8$ から $t<\frac85$ を作るのが比較の決め手である。

答え

**(1)**

$$ \frac{1}{3}\log_6 2>\frac{1}{5}\log_6 3 $$

**(2)**

$$ \frac{1}{5}\log_8 3<\frac{\log_6 2\times \log_6 9}{4} $$