解説

方針・初手

$0<c<1$ のとき，指数関数 $c^x$ は $x$ の増加とともに減少する。この性質を用いて，各対数が $1$ より大きいか小さいかを判定し，さらに相互の大小を比較する。

解法1

次の5つを

$$ A=\log_b \frac15,\quad B=\log_b \frac45,\quad C=\log_a b,\quad D=\log_{\frac45} b,\quad E=1 $$

とおく。

まず，$ \dfrac45<b<1$ であり，底 $b$ は $0<b<1$ であるから，$b^x$ は減少関数である。

$B=\log_b \dfrac45$ は

$$ b^B=\frac45 $$

を満たすが，

$$ b^1=b<\frac45<b^0=1 $$

であるから，

$$ 0<B<1 $$

ではなく，減少関数であることに注意すると，

$$ \frac45<b<1 \quad\Rightarrow\quad B>1 $$

である。

同様に，$A=\log_b \dfrac15$ は

$$ b^A=\frac15 $$

を満たすが，

$$ \frac15<\frac45 $$

であり，底 $b$ は $0<b<1$ なので，値がより小さくなるには指数はより大きくなる。したがって

$$ A>B $$

である。よって

$$ A>B>1 $$

が分かる。

次に，$C=\log_a b$ について考える。これは

$$ a^C=b $$

を満たす。ところが

$$ 0<a<b<1 $$

であるから，

$$ a^1=a<b<a^0=1 $$

となる。底 $a$ も $0<a<1$ なので減少関数であり，

$$ 0<C<1 $$

である。

同様に，$D=\log_{\frac45} b$ は

$$ \left(\frac45\right)^D=b $$

を満たすが，

$$ \left(\frac45\right)^1=\frac45<b<1=\left(\frac45\right)^0 $$

であるから，

$$ 0<D<1 $$

である。

さらに $C$ と $D$ を比べる。$b=\left(\dfrac45\right)^D$ であり，$0<D<1$ だから，$0<a<\dfrac45<1$ より

$$ a^D<\left(\frac45\right)^D=b $$

となる。一方，$a^C=b$ である。底 $a$ は $0<a<1$ なので $a^x$ は減少関数であるから，

$$ a^D<a^C \quad\Rightarrow\quad D>C $$

したがって

$$ 0<C<D<1 $$

である。

以上をまとめると，

$$ C<D<1<B<A $$

である。

よって，最小であるものは $C=\log_a b$，最大であるものは $A=\log_b \dfrac15$ である。

解説

底が $0$ と $1$ の間にあるとき，対数の大小比較は「対応する指数関数が減少する」ことを使うと整理しやすい。

特に，

$$ a^1=a<b<a^0=1,\qquad \left(\frac45\right)^1=\frac45<b<\left(\frac45\right)^0=1 $$

から $\log_a b,\ \log_{\frac45} b$ はともに $0$ と $1$ の間にあることが分かる。また，同じ底 $b$ に対する $\log_b \dfrac15,\ \log_b \dfrac45$ の比較では，底が $0<b<1$ であるため，真数が小さいほうが対数は大きくなる点が重要である。

答え

最小であるものは

$$ \log_a b $$

最大であるものは

$$ \log_b \frac15 $$

である。