解説

方針・初手

対数方程式を真数どうしの等式に直すのが初手である。

与えられた式

$$ 2\log_{10}(a+2b)=\log_{10}a+\log_{10}b+1 $$

で、$1=\log_{10}10$ を用いると、両辺をそれぞれ1つの対数にまとめられる。

解法1

与式より

$$ \log_{10}(a+2b)^2=\log_{10}(10ab) $$

となるから、

$$ (a+2b)^2=10ab $$

である。

ここで、$b>0$ なので $x=\dfrac{a}{b}$ とおくと、$a=bx$ であるから

$$ (bx+2b)^2=10bx\cdot b $$

すなわち

$$ b^2(x+2)^2=10b^2x $$

となる。$b>0$ より $b^2\neq 0$ だから、

$$ (x+2)^2=10x $$

を得る。展開すると

$$ x^2+4x+4=10x $$

ゆえに

$$ x^2-6x+4=0 $$

である。これを解くと

$$ x=\frac{6\pm\sqrt{36-16}}{2}=3\pm\sqrt{5} $$

となる。

しかるに、$a>b>0$ より

$$ \frac{a}{b}>1 $$

であるから、$3-\sqrt{5}<1$ は不適であり、

$$ \frac{a}{b}=3+\sqrt{5} $$

である。

次に

$$ \frac{a^2}{a^2+2b^2} $$

を求める。$x=\dfrac{a}{b}$ を用いれば

$$ \frac{a^2}{a^2+2b^2} =\frac{x^2b^2}{x^2b^2+2b^2} =\frac{x^2}{x^2+2} $$

である。

ここで $x=3+\sqrt{5}$ より

$$ x^2=(3+\sqrt{5})^2=14+6\sqrt{5} $$

だから、

$$ \frac{x^2}{x^2+2} =\frac{14+6\sqrt{5}}{16+6\sqrt{5}} =\frac{7+3\sqrt{5}}{8+3\sqrt{5}} $$

となる。分母を有理化すると

$$ \frac{7+3\sqrt{5}}{8+3\sqrt{5}} =\frac{(7+3\sqrt{5})(8-3\sqrt{5})}{(8+3\sqrt{5})(8-3\sqrt{5})} =\frac{56-21\sqrt{5}+24\sqrt{5}-45}{64-45} =\frac{11+3\sqrt{5}}{19} $$

である。

解説

対数の問題では、まず真数条件を確認したうえで、対数の性質を使って1つの式にまとめるのが基本である。本問では $a>b>0$ が与えられているので、真数条件は自動的に満たされる。

その後は $\dfrac{a}{b}$ を文字で置くと、2変数の式が1変数の2次方程式に整理される。こうした「比に着目して置く」処理が典型である。

答え

$$ \frac{a}{b}=3+\sqrt{5} $$

$$ \frac{a^2}{a^2+2b^2}=\frac{11+3\sqrt{5}}{19} $$