解説

方針・初手

$$ x=\log_a b,\quad y=\log_b c,\quad z=\log_c a $$

とおく。

すると与えられた2つの条件は、$x,y,z$ の基本対称式に直せる。さらに

$$ xyz=\log_a b\cdot \log_b c\cdot \log_c a=1 $$

が成り立つので、$x,y,z$ を解にもつ3次方程式が作れる。

解法1

まず

$$ x=\log_a b,\quad y=\log_b c,\quad z=\log_c a $$

とおくと、問題の条件より

$$ x+y+z=\frac{17}{4} $$

である。

また、対数の性質より

$$ \log_a c=\log_a b\cdot \log_b c=xy $$

であり、さらに

$$ xyz=1 $$

だから

$$ \frac{1}{x}=yz,\quad \frac{1}{y}=zx,\quad \frac{1}{z}=xy $$

が成り立つ。よって

$$ \log_b a=\frac{1}{\log_a b}=\frac{1}{x}=yz,\quad \log_c b=\frac{1}{\log_b c}=\frac{1}{y}=zx $$

であるから、もう1つの条件

$$ \log_a c+\log_b a+\log_c b=5 $$

は

$$ xy+yz+zx=5 $$

となる。

したがって、$x,y,z$ を解にもつ3次方程式は

$$ t^3-(x+y+z)t^2+(xy+yz+zx)t-xyz=0 $$

より

$$ t^3-\frac{17}{4}t^2+5t-1=0 $$

すなわち

$$ 4t^3-17t^2+20t-4=0 $$

である。

これを因数分解すると

$$ 4t^3-17t^2+20t-4=(t-2)^2(4t-1) $$

となるので、

$$ x,y,z=2,2,\frac14 $$

である。

次に、$a\leqq b\leqq c$ を用いて $x,y,z$ の対応を決める。

$a<1$ とすると、$x=\log_a b>0$ であるため $b<1$ となる。さらに $y=\log_b c>0$ なら $c<1$ となり、結局 $abc<1$ となって

$$ abc=216\sqrt6 $$

に反する。したがって

$$ a>1 $$

である。

すると $a\leqq b\leqq c$ より $b>1,\ c>1$ であり、底が $1$ より大きい対数は増加関数だから

$$ x=\log_a b\geqq 1,\quad y=\log_b c\geqq 1,\quad z=\log_c a\leqq 1 $$

が成り立つ。しかも $a,b,c$ は相異なるので

$$ x>1,\quad y>1,\quad z<1 $$

である。

したがって

$$ x=2,\quad y=2,\quad z=\frac14 $$

と定まる。

よって

$$ b=a^2,\quad c=b^2=a^4 $$

であるから

$$ abc=a\cdot a^2\cdot a^4=a^7. $$

これが $216\sqrt6$ に等しいので

$$ a^7=216\sqrt6=6^3\cdot 6^{1/2}=6^{7/2}. $$

したがって

$$ a=\sqrt6,\quad b=a^2=6,\quad c=a^4=36 $$

となる。

解説

この問題の要点は、$\log_a b,\log_b c,\log_c a$ を文字で置いて、対数条件を対称式に直すことである。

特に

$$ \log_a b\cdot \log_b c\cdot \log_c a=1 $$

は非常に重要で、これによって逆数が2変数の積で表せるようになる。その結果、与えられた2つの条件から3次方程式を自然に作ることができる。

（2） では、3つの解のうちどれが $\log_a b,\log_b c,\log_c a$ に対応するかを、$a\leqq b\leqq c$ と $abc>1$ から丁寧に判定するのがポイントである。

答え

**(1)**

$\log_a b,\ \log_b c,\ \log_c a$ を解とする3次方程式は

$$ t^3-\frac{17}{4}t^2+5t-1=0 $$

すなわち

$$ 4t^3-17t^2+20t-4=0 $$

である。

**(2)**

$$ a=\sqrt6,\quad b=6,\quad c=36 $$

である。