解説

方針・初手

$\log_{1/10}(ax)$ と $\log_{1/10}x$ が同時に現れているので、まず $\log_{1/10}a$ を定数としておくと整理しやすい。

また、求める条件は「すべての解が $\sqrt{10}$ より大きい」であるから、底が $1/10$ であることに注意して、$\log_{1/10}x$ の大小に言い換えて考える。

解法1

$a>0$ でなければ $\log_{1/10}(ax)$ が定義されないので、まず $a>0$ である。

ここで

$$ p=\log_{1/10}a $$

とおく。また

$$ y=\log_{1/10}(ax) $$

とおくと、

$$ \log_{1/10}x=\log_{1/10}(ax)-\log_{1/10}a=y-p $$

である。したがって与えられた方程式は

$$ y^2+(y-p)+\frac14=0 $$

すなわち

$$ y^2+y+\frac14=p $$

となるので、

$$ \left(y+\frac12\right)^2=p $$

を得る。

よって、この方程式が解をもつための必要十分条件は

$$ p\ge 0 $$

であり、そのとき

$$ y=-\frac12\pm\sqrt{p} $$

である。

したがって

$$ \log_{1/10}x=y-p=-\frac12\pm\sqrt{p}-p $$

となる。したがって、解に対応する $\log_{1/10}x$ の値は

$$ -\frac12+\sqrt{p}-p,\quad -\frac12-\sqrt{p}-p $$

である。

ここで、底が $1/10$ で $0<1/10<1$ だから、対数関数は減少関数である。ゆえに

$$ x>\sqrt{10} $$

は

$$ \log_{1/10}x<\log_{1/10}\sqrt{10}=-\frac12 $$

と同値である。

「すべての解が $\sqrt{10}$ より大きい」ためには、2つの値のうち大きい方ですら $-\dfrac12$ より小さければよい。大きい方は

$$ -\frac12+\sqrt{p}-p $$

であるから、

$$ -\frac12+\sqrt{p}-p<-\frac12 $$

すなわち

$$ \sqrt{p}-p<0 $$

である。これを整理すると

$$ p-\sqrt{p}>0 $$

であり、$p\ge0$ のもとで

$$ \sqrt{p}(\sqrt{p}-1)>0 $$

となるから

$$ p>1 $$

を得る。

最後に $p=\log_{1/10}a$ であり、底が $1/10$ なので

$$ \log_{1/10}a>1 $$

は

$$ 0<a<\frac1{10} $$

と同値である。

解説

平方完成すると、解の存在条件が $p\ge0$、さらに解の位置条件が $p>1$ と明確に分かれるのがポイントである。

また、底が $1/10$ なので、$x>\sqrt{10}$ を $\log_{1/10}x<-\dfrac12$ と変形したときに不等号の向きが逆になる点に注意が必要である。

答え

$$ 0<a<\frac1{10} $$

である。