解説

方針・初手

底が $x$ の対数が含まれているので、まず定義域を確認する。

$$ x>0,\quad x\ne 1,\quad y>0 $$

そのうえで

$$ a=\log_2 x,\quad b=\log_2 y $$

とおくと、底の変換公式により式が整理しやすくなる。最後に $a,b$ の条件を $x,y$ に戻せば、座標平面上の範囲が分かる。

解法1

底の変換公式より、

$$ \log_x 2=\frac{1}{\log_2 x}=\frac{1}{a},\qquad \log_x y=\frac{\log_2 y}{\log_2 x}=\frac{b}{a} $$

である。したがって与えられた不等式は

$$ \frac{1}{a}-b\cdot \frac{b}{a}<4(a-b) $$

すなわち

$$ \frac{1-b^2}{a}<4(a-b) $$

となる。左辺にまとめると、

$$ \frac{1-b^2-4a^2+4ab}{a}<0 $$

ここで分子を平方完成すると、

$$ 1-b^2-4a^2+4ab =1-(2a-b)^2 $$

であるから、

$$ \frac{1-(2a-b)^2}{a}<0 $$

を得る。

ここで $a=\log_2 x$ の符号で場合分けする。

**(i)**

$a>0$、すなわち $x>1$ のとき

分母が正なので、

$$ 1-(2a-b)^2<0 $$

すなわち

$$ (2a-b)^2>1 $$

である。よって

$$ 2a-b>1 \quad \text{または} \quad 2a-b<-1 $$

となり、$b$ について解くと

$$ b<2a-1 \quad \text{または} \quad b>2a+1 $$

である。

これを $x,y$ に戻すと、

$$ \log_2 y<2\log_2 x-1=\log_2\left(\frac{x^2}{2}\right) $$

または

$$ \log_2 y>2\log_2 x+1=\log_2(2x^2) $$

より

$$ y<\frac{x^2}{2} \quad \text{または} \quad y>2x^2 $$

となる。

したがって $x>1$ では、

$$ 0<y<\frac{x^2}{2} \quad \text{または} \quad y>2x^2 $$

である。

**(ii)**

$a<0$、すなわち $0<x<1$ のとき

分母が負なので、不等号が逆になって

$$ 1-(2a-b)^2>0 $$

すなわち

$$ (2a-b)^2<1 $$

である。よって

$$ -1<2a-b<1 $$

となり、$b$ について解くと

$$ 2a-1<b<2a+1 $$

である。

これを $x,y$ に戻すと、

$$ \log_2\left(\frac{x^2}{2}\right)<\log_2 y<\log_2(2x^2) $$

より

$$ \frac{x^2}{2}<y<2x^2 $$

となる。

以上より、求める範囲は第1象限において

$$ \begin{cases} \displaystyle \frac{x^2}{2}<y<2x^2 & (0<x<1),\\[1mm] \displaystyle 0<y<\frac{x^2}{2}\ \text{または}\ y>2x^2 & (x>1) \end{cases} $$

である。

なお、不等式は厳密不等号であり、また $\log_x 2$ が定義されないので、

$$ x=1,\qquad y=\frac{x^2}{2},\qquad y=2x^2 $$

はいずれも含まれない。

解説

$y$ をそのまま扱うより、$a=\log_2 x,\ b=\log_2 y$ とおくのが自然である。すると $\log_x 2,\ \log_x y$ がすべて $a,b$ で表せて、式全体が

$$ \frac{1-(2a-b)^2}{a}<0 $$

という形まで整理できる。

この形になると、問題の本質は「$\log_2 x$ の符号によって分ける」ことである。すなわち $x>1$ と $0<x<1$ で場合分けするのが決定的である。最後に $\log_2$ は単調増加であることを使って、$b$ の範囲をそのまま $y$ の範囲に戻せばよい。

図としては、境界は2本の放物線

$$ y=\frac{x^2}{2},\qquad y=2x^2 $$

であり、$0<x<1$ ではその間、$x>1$ ではその外側をとる形になる。ただし $x=1$ は除かれる。

答え

求める範囲は第1象限で

$$ \begin{cases} \displaystyle \frac{x^2}{2}<y<2x^2 & (0<x<1),\\[1mm] \displaystyle 0<y<\frac{x^2}{2}\ \text{または}\ y>2x^2 & (x>1) \end{cases} $$

である。

境界 $y=\dfrac{x^2}{2},\ y=2x^2$ は含まず、また $x=1$ も含まない。