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数学2 指数対数「対数関数」の問題60 解説

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数学2指数対数対数関数問題60

解説

底の変換公式を用いて、すべて $\log_a b$ で表す。 $\log_a b$ と $\log_b a$ は逆数の関係にあるので、積の形にすると簡単になる。

与えられた式を

$$ (\log_a b+\log_{a^n} b^n)(\log_b a^n+\log_{b^n} a) $$

とする。

ここで

$$ x=\log_a b $$

とおく。

すると、

$$ \log_{a^n} b^n=\frac{\log_a b^n}{\log_a a^n} =\frac{n\log_a b}{n} =\log_a b =x $$

である。

また、

$$ \log_b a^n=n\log_b a=\frac{n}{\log_a b}=\frac{n}{x} $$

であり、

$$ \log_{b^n} a=\frac{\log_b a}{\log_b b^n} =\frac{\log_b a}{n} =\frac{1}{n}\log_b a =\frac{1}{nx} $$

となる。

したがって、もとの式は

$$ (x+x)\left(\frac{n}{x}+\frac{1}{nx}\right) =2x\left(\frac{n+\frac{1}{n}}{x}\right) =2\left(n+\frac{1}{n}\right) $$

となる。

$\log_{a^n} b^n$ は、分子と分母に同じ $n$ がかかるため $\log_a b$ と一致する。また、$\log_b a=\dfrac{1}{\log_a b}$ を使うと、第2因子も $\log_a b$ で表せる。

この問題の要点は、対数の底の変換公式と

$$ \log_b a=\frac{1}{\log_a b} $$

を素早く使うことである。

$$ 2\left(n+\frac{1}{n}\right) $$