解説

方針・初手

（1） は $t=\log_2 x$ とおけば、2次不等式に直せる。

（2） も同じく $t=\log_2 x$ とおき、さらに $\log_{\frac12}a=-\log_2 a$ を用いて $f(x)$ を $t$ の2次関数に直す。あとは （1） で得た区間上で最大値・最小値を調べればよい。

解法1

**(1)**

対数が定義されるため、まず $x>0$ である。

ここで

$$ t=\log_2 x $$

とおくと、与えられた不等式は

$$ t^2-4t+3\leqq 0 $$

となる。これを因数分解すると

$$ (t-1)(t-3)\leqq 0 $$

であるから、

$$ 1\leqq t\leqq 3 $$

したがって

$$ 1\leqq \log_2 x\leqq 3 $$

より、

$$ 2\leqq x\leqq 8 $$

である。

**(2)**

（1） より $2\leqq x\leqq 8$ である。ここでも

$$ t=\log_2 x $$

とおくと、

$$ 1\leqq t\leqq 3 $$

である。

まず、底の変換を用いると

$$ \begin{aligned} \log_{\frac12}\frac{x}{3} &= -\log_2\frac{x}{3} \\ -\left(\log_2 x-\log_2 3\right) \\ \log_2 3-t \end{aligned} $$

同様に、

$$ \begin{aligned} \log_{\frac12}\frac{x}{4} &= -\log_2\frac{x}{4} \\ -\left(\log_2 x-2\right) \\ 2-t \end{aligned} $$

よって

$$ f(x)=(\log_2 3-t)(2-t)=(t-\log_2 3)(t-2) $$

となる。これを平方完成すると

$$ \begin{aligned} f(x) &=t^2-(\log_2 3+2)t+2\log_2 3\\ &=\left(t-\frac{\log_2 3+2}{2}\right)^2-\frac{(2-\log_2 3)^2}{4} \end{aligned} $$

ここで $1<\log_2 3<2$ であるから、

$$ 1<\frac{\log_2 3+2}{2}<2 $$

となり、頂点は区間 $1\leqq t\leqq 3$ の内部にある。したがって最小値は頂点でとり、

$$ f_{\min}=-\frac{(2-\log_2 3)^2}{4} $$

そのとき

$$ t=\frac{\log_2 3+2}{2} $$

であるから、

$$ x=2^t=2^{\frac{\log_2 3+2}{2}}=2\sqrt3 $$

である。

また、上に開く2次関数なので最大値は端点でとる。端点での値は

$$ f(2)=(\log_2 3-1)\cdot 1=\log_2\frac32 $$

$$ f(8)=(\log_2 3-3)(-1)=3-\log_2 3=\log_2\frac83 $$

であり、

$$ \log_2\frac83>\log_2\frac32 $$

だから最大値は

$$ f_{\max}=3-\log_2 3 $$

そのとき

$$ x=8 $$

である。

解説

両問とも $\log_2 x$ を1つの文字でおくのが基本である。（1） はそのまま2次不等式となり、（2） も $\log_{\frac12}a=-\log_2 a$ を使えば2次関数の最大最小の問題に帰着する。

特に （2） では、先に （1） から $1\leqq \log_2 x\leqq 3$ を得ておくことで、どの区間で2次関数を調べるかが明確になる。頂点が区間内にあるので最小値は頂点でとり、最大値は端点比較で決まる。

答え

**(1)**

$$ 2\leqq x\leqq 8 $$

**(2)**

最大値は

$$ 3-\log_2 3 $$

で、そのとき

$$ x=8 $$

最小値は

$$ -\frac{(2-\log_2 3)^2}{4} $$

で、そのとき

$$ x=2\sqrt3 $$