解説

方針・初手

3つ目は対数の性質で

$$ \frac{\log_a x+\log_a y}{2}=\log_a\sqrt{xy} $$

と書けるので，まず

$$ \log_a\frac{x+y}{2},\quad \log_a\sqrt{xy} $$

の比較には相加平均と相乗平均の関係を用いる。

また，1つ目と2つ目，2つ目と3つ目は差をとって比較する。

解法1

3つの式を

$$ A=\log_a\frac{x+y}{2},\qquad B=\frac{\log_a(x+y)}{2},\qquad C=\frac{\log_a x+\log_a y}{2} $$

とおく。

まず，$C$ は

$$ C=\frac{1}{2}\log_a x+\frac{1}{2}\log_a y =\log_a\sqrt{xy} $$

である。

したがって，$A$ と $C$ の比較には相加平均・相乗平均の関係

$$ \frac{x+y}{2}\geqq \sqrt{xy} $$

を用いればよい。よって，

**(i)**

$a>1$ のとき

$$ A\geqq C $$

**(ii)**

$0<a<1$ のとき

$$ A\leqq C $$

となる。等号は $x=y$ のときに限る。

次に，$A$ と $B$ を比較する。

$$ A-B =\log_a\frac{x+y}{2}-\frac{1}{2}\log_a(x+y) =\frac{1}{2}\log_a\frac{x+y}{4} $$

ここで $x>2,\ y>2$ より $x+y>4$ であるから，

**(i)**

$a>1$ のとき

$$ A-B>0 $$

すなわち

$$ A>B $$

**(ii)**

$0<a<1$ のとき

$$ A-B<0 $$

すなわち

$$ A<B $$

である。

さらに，$B$ と $C$ を比較する。

$$ C-B =\frac{1}{2}\bigl(\log_a x+\log_a y-\log_a(x+y)\bigr) =\frac{1}{2}\log_a\frac{xy}{x+y} $$

ここで

$$ xy-(x+y)=(x-1)(y-1)-1 $$

であり，$x>2,\ y>2$ より $x-1>1,\ y-1>1$ だから

$$ (x-1)(y-1)>1 $$

したがって

$$ xy-(x+y)>0 $$

すなわち

$$ xy>x+y $$

である。よって，

**(i)**

$a>1$ のとき

$$ C>B $$

**(ii)**

$0<a<1$ のとき

$$ C<B $$

となる。

以上をまとめると，

**(i)**

$a>1$ のとき

$$ B<C\leqq A $$

**(ii)**

$0<a<1$ のとき

$$ A\leqq C<B $$

である。

なお，$x=y$ のときは $A=C$ となる。

解説

この問題の本質は，3つ目を

$$ \log_a\sqrt{xy} $$

と直して，相加平均 $\dfrac{x+y}{2}$ と相乗平均 $\sqrt{xy}$ の比較に持ち込むことである。

また，対数関数は $a>1$ で増加，$0<a<1$ で減少するため，不等号の向きが底によって逆転する点が重要である。したがって，答えは $a$ の範囲で場合分けして書く必要がある。

答え

$$ a>1\ \text{のとき}\qquad \frac{\log_a(x+y)}{2} < \frac{\log_a x+\log_a y}{2} \leqq \log_a\frac{x+y}{2} $$

$$ 0<a<1\ \text{のとき}\qquad \log_a\frac{x+y}{2} \leqq \frac{\log_a x+\log_a y}{2} < \frac{\log_a(x+y)}{2} $$

等号は $x=y$ のときに限り，

$$ \begin{aligned} \log_a\frac{x+y}{2} &= \frac{\log_a x+\log_a y}{2} \end{aligned} $$

である。