解説

方針・初手

与えられた対数方程式を真数どうしの等式に直し、さらに求める式が $x,y$ の同次式になっていることから、比 $t=\dfrac{x}{y}$ に着目するのが自然である。

解法1

対数の定義域より

$$ x>0,\quad y>0 $$

である。

また、与えられた式

$$ 2\log_3(2x+3y)=\log_3 x+\log_3 y+3 $$

において、右辺の $3$ は

$$ 3=\log_3 27 $$

と書けるから、

$$ 2\log_3(2x+3y)=\log_3(27xy) $$

である。左辺をまとめると

$$ \log_3(2x+3y)^2=\log_3(27xy) $$

となるので、

$$ (2x+3y)^2=27xy $$

を得る。

ここで $y>0$ なので

$$ t=\frac{x}{y} $$

とおくと、$x=ty$ であり、条件 $x>y$ より

$$ t>1 $$

である。これを $(2x+3y)^2=27xy$ に代入すると

$$ (2ty+3y)^2=27ty^2 $$

すなわち

$$ (2t+3)^2=27t $$

となる。展開して整理すると

$$ 4t^2+12t+9=27t $$

より

$$ 4t^2-15t+9=0 $$

である。これを解くと

$$ (4t-3)(t-3)=0 $$

だから

$$ t=\frac{3}{4},\ 3 $$

を得る。条件 $t>1$ より

$$ t=3 $$

である。したがって

$$ \frac{x}{y}=3 $$

である。

求める値は

$$ \frac{x^2+xy-4y^2}{xy+y^2} =\frac{y^2\left(\left(\frac{x}{y}\right)^2+\frac{x}{y}-4\right)}{y^2\left(\frac{x}{y}+1\right)} =\frac{t^2+t-4}{t+1} $$

であるから、$t=3$ を代入して

$$ \frac{t^2+t-4}{t+1} =\frac{9+3-4}{4} =\frac{8}{4} =2 $$

となる。

解説

この問題の本質は、対数方程式を普通の代数方程式に直すことである。その後、求める式が $x,y$ の比だけで決まる形になっているので、$t=\dfrac{x}{y}$ とおくと一気に整理できる。

$4t^2-15t+9=0$ の解は $t=\dfrac34,3$ の2つであるが、条件 $x>y$ から $t>1$ を忘れずに使うことが重要である。

答え

$$ 2 $$