解説

方針・初手

$\log_{10}x,\log_{10}y$ をそれぞれ新しい文字で置くと，条件 $xy=10^3$ が和の条件に直るので扱いやすい。

$x\geqq10,\ y\geqq10$ より対数はともに $1$ 以上であるから，その範囲の中で最大・最小を調べればよい。

解法1

$a=\log_{10}x,\ b=\log_{10}y$ とおく。

このとき $x\geqq10,\ y\geqq10$ より

$$ a\geqq1,\quad b\geqq1 $$

また，$xy=10^3$ であるから

$$ \log_{10}(xy)=\log_{10}10^3 $$

より

$$ a+b=3 $$

となる。

**(1)**

$\left(\log_{10}x\right)\left(\log_{10}y\right)$ の最大値・最小値

これは $ab$ を求めればよい。

$b=3-a$ を代入すると

$$ ab=a(3-a)=-a^2+3a $$

である。さらに

$$ ab=-\left(a-\frac32\right)^2+\frac94 $$

となるから，$ab$ は $a=\dfrac32$ のとき最大となり，

$$ ab_{\max}=\frac94 $$

このとき

$$ a=b=\frac32 $$

であるから

$$ \log_{10}x=\log_{10}y=\frac32 $$

より

$$ x=y=10^{3/2}=10\sqrt{10} $$

一方，$a\geqq1,\ b\geqq1,\ a+b=3$ なので $a$ の範囲は

$$ 1\leqq a\leqq2 $$

である。放物線 $ab=-a^2+3a$ は下に凸であるから，最小値は端でとる。

$a=1$ のとき $b=2$，$a=2$ のとき $b=1$ であるから

$$ ab_{\min}=2 $$

このとき

$$ (\log_{10}x,\log_{10}y)=(1,2)\ \text{または}\ (2,1) $$

より

$$ (x,y)=(10,100)\ \text{または}\ (100,10) $$

である。

**(2)**

$\log_xy$ の最大値・最小値

対数の底の変換公式より

$$ \log_xy=\frac{\log_{10}y}{\log_{10}x}=\frac{b}{a} $$

ここで $b=3-a$ であるから

$$ \log_xy=\frac{3-a}{a}=\frac3a-1 $$

$a$ は $1\leqq a\leqq2$ を動く。$\dfrac3a-1$ は $a>0$ で単調減少するので，

最大値は $a=1$ のとき，最小値は $a=2$ のときである。

したがって

$$ \left(\log_xy\right)_{\max}=\frac31-1=2 $$

このとき $a=1,\ b=2$ だから

$$ (x,y)=(10,100) $$

また

$$ \left(\log_xy\right)_{\min}=\frac32-1=\frac12 $$

このとき $a=2,\ b=1$ だから

$$ (x,y)=(100,10) $$

解説

この問題の核心は，積の条件 $xy=10^3$ を対数で和の条件に変えることである。

$\log_{10}x,\log_{10}y$ を $a,b$ とおけば，$a+b=3,\ a,b\geqq1$ という一次的な条件のもとで， （1） は積 $ab$， （2） は比 $\dfrac ba$ を調べるだけになる。

特に （1） は「和が一定のときの積」，（2） は「区間上の単調関数」として処理できる典型問題である。

答え

**(1)**

最大値は

$$ \frac94 $$

このとき

$$ x=y=10\sqrt{10} $$

最小値は

$$ 2 $$

このとき

$$ (x,y)=(10,100)\ \text{または}\ (100,10) $$

**(2)**

最大値は

$$ 2 $$

このとき

$$ (x,y)=(10,100) $$

最小値は

$$ \frac12 $$

このとき

$$ (x,y)=(100,10) $$