解説

方針・初手

与えられた不等式 $a^2<b<a<1$ では，底が $0<a<1$ の対数は単調減少であることが重要である。

そこでまず

$$ x=\log_a b $$

とおくと，$a^2<b<a$ から $x$ の範囲がすぐに決まる。あとは他の対数をすべて $x$ で表して比較すればよい。

解法1

$$ x=\log_a b $$

とおくと，

$$ b=a^x $$

である。

ここで $a^2<b<a$ であり，底 $a$ は $0<a<1$ だから，指数関数 $a^t$ は単調減少である。よって

$$ a^2<b<a^1 $$

から

$$ 2>x>1 $$

すなわち

$$ 1<x<2 $$

を得る。

次に，各式を $x$ で表す。

まず

$$ \log_a b=x $$

である。

また，対数の底の変換より

$$ \log_b a=\frac{1}{\log_a b}=\frac{1}{x} $$

である。

さらに，

$$ \log_a \frac{a}{b} =\log_a a-\log_a b =1-x $$

である。

同様に，

$$ \log_b \frac{b}{a} =\log_b b-\log_b a =1-\frac{1}{x} $$

である。

したがって，比較すべきものは

$$ x,\quad \frac{1}{x},\quad 1-x,\quad 1-\frac{1}{x},\quad \frac12 $$

である。

ここで $1<x<2$ より，

$$ \frac12<\frac1x<1 $$

となる。よって

$$ 0<1-\frac1x<\frac12 $$

である。

また $1<x<2$ より

$$ -1<1-x<0 $$

である。

さらに

$$ \frac1x< x $$

は $x>1$ から明らかである。

以上をまとめると，

$$ 1-x<0<1-\frac1x<\frac12<\frac1x<x $$

であるから，

$$ \log_a \frac{a}{b} < \log_b \frac{b}{a} < \frac12 < \log_b a < \log_a b $$

となる。

解説

この問題の本質は，$0<a<1$ のとき対数関数や指数関数の単調性が通常と逆になる点にある。

$a^2<b<a$ から直接 $\log_a b$ の範囲を出し，残りをそれで統一してしまうのが最も整理しやすい。個別に大小比較をすると符号や単調性を取り違えやすいので，1文字で置く処理が有効である。

答え

$$ \log_a \frac{a}{b} < \log_b \frac{b}{a} < \frac12 < \log_b a < \log_a b $$