解説

方針・初手

$f(x)=\log x^{100}=100\log x$ であるから、導関数は

$$ f'(x)=\frac{100}{x} $$

となる。（1） は平均値の定理を使えば直ちに示せる。

（2） は $a_n=[f(n)]$ とおき、（1） の評価から $a_{n+1}-a_n$ の振る舞いを調べる。特に $n<100$ では増分が $1$ より大きく、$n\geqq 100$ では増分が $1$ 未満になることが本質である。

解法1

**(1)**

$f(x)=100\log x$ は $x>0$ で微分可能である。したがって、区間 $[x,x+1]$ で平均値の定理を用いると、ある $c\in(x,x+1)$ が存在して

$$ f(x+1)-f(x)=f'(c)\bigl((x+1)-x\bigr)=\frac{100}{c} $$

となる。

ここで $x<c<x+1$ であるから

$$ \frac{1}{x+1}<\frac{1}{c}<\frac{1}{x} $$

が成り立つ。両辺に $100$ をかければ

$$ \frac{100}{x+1}<f(x+1)-f(x)<\frac{100}{x} $$

を得る。よって示された。

**(2)**

$a_n=[f(n)]\quad (n=1,2,\dots,1000)$ とおく。

まず （1） において $x=n$ とすると

$$ \frac{100}{n+1}<f(n+1)-f(n)<\frac{100}{n} $$

を得る。

**(i)**

$1\leqq n\leqq 99$ のとき

このとき

$$ \frac{100}{n+1}\geqq 1 $$

であるから、上の不等式より

$$ f(n+1)-f(n)>1 $$

となる。したがって $a_{n+1}>a_n$ であり、$a_1,a_2,\dots,a_{100}$ はすべて異なる。

よって、$a_1$ から $a_{100}$ までで異なるものは $100$ 個ある。

**(ii)**

$100\leqq n\leqq 999$ のとき

このとき

$$ 0<f(n+1)-f(n)<1 $$

である。ゆえに $a_{n+1}$ は $a_n$ と等しいか、$a_n+1$ にしかなりえない。すなわち

$$ a_{n+1}=a_n \quad \text{または} \quad a_{n+1}=a_n+1 $$

である。

したがって、整数列 $a_{100},a_{101},\dots,a_{1000}$ は減少せず、しかも一度に $2$ 以上飛ばない。ゆえにこの中に現れる異なる整数は

$$ a_{100},\,a_{100}+1,\,a_{100}+2,\,\dots,\,a_{1000} $$

のすべてである。

よって、$a_{100},a_{101},\dots,a_{1000}$ のうち異なるものの個数は

$$ a_{1000}-a_{100}+1 $$

個である。

ここで

$$ f(100)=100\log 100=200\log 10 $$

であり、$\log 10=2.3026$ を用いると

$$ f(100)=200\times 2.3026=460.52 $$

したがって

$$ a_{100}=[f(100)]=460 $$

である。

また

$$ f(1000)=100\log 1000=300\log 10 $$

より

$$ f(1000)=300\times 2.3026=690.78 $$

したがって

$$ a_{1000}=[f(1000)]=690 $$

である。

以上より、$a_{100},a_{101},\dots,a_{1000}$ で異なるものは

$$ 690-460+1=231 $$

個である。ただしこの中には $a_{100}$ が含まれており、これはすでに $a_1,\dots,a_{100}$ の $100$ 個の中に数えている。

よって全体で異なるものの個数は

$$ 100+(231-1)=100+(690-460)=330 $$

個である。

解説

この問題の要点は、差

$$ f(x+1)-f(x) $$

を直接計算するのではなく、導関数 $f'(x)=100/x$ によって評価することである。平均値の定理を使うと、差がちょうど $\dfrac{100}{c}$ の形で表されるため、$x< c <x+1$ から上下評価が直ちに得られる。

（2） では、その評価から $f(n+1)-f(n)$ が $n<100$ では $1$ より大きく、$n\geqq 100$ では $1$ 未満になることを読むのが核心である。前半では整数部分が毎回必ず変わり、後半では整数部分は同じか $1$ 増えるだけになる。このため、後半は端の値 $[f(100)]$ と $[f(1000)]$ を求めれば個数が決まる。

答え

**(1)**

$$ \frac{100}{x+1}<f(x+1)-f(x)<\frac{100}{x} $$

が成り立つ。

**(2)**

$[f(1)],[f(2)],\dots,[f(1000)]$ のうち異なるものの個数は

$$ 330 $$

個である。