解説

方針・初手

底が異なる対数が並んでいるので，まず右辺の $\log_{a^2}(3x+16)$ を底 $a$ の対数に直す。

そのうえで，対数の真数条件を確認し，最後に底 $a$ が $a>1$ のときと $0<a<1$ のときで単調性を分けて処理する。

解法1

まず，対数が定義されるための条件は

$$ x+2>0,\quad 3x+16>0 $$

である。

これより

$$ x>-2,\quad x>-\frac{16}{3} $$

したがって定義域は

$$ x>-2 $$

である。

次に，右辺を底 $a$ の対数で表すと

$$ \log_{a^2}(3x+16)=\frac{\log_a(3x+16)}{\log_a(a^2)} =\frac{\log_a(3x+16)}{2} $$

である。よって与えられた不等式は

$$ \log_a(x+2)\ge \frac{1}{2}\log_a(3x+16) $$

すなわち

$$ 2\log_a(x+2)\ge \log_a(3x+16) $$

となる。ここで $x>-2$ より $x+2>0$ だから，

$$ \log_a\bigl((x+2)^2\bigr)\ge \log_a(3x+16) $$

と書ける。

ここで底 $a$ の値によって場合分けする。

**(i)**

$a>1$ のとき

$\log_a x$ は増加関数であるから，

$$ (x+2)^2\ge 3x+16 $$

と同値である。整理すると

$$ x^2+4x+4\ge 3x+16 $$

$$ x^2+x-12\ge 0 $$

$$ (x+4)(x-3)\ge 0 $$

よって

$$ x\le -4 \ \text{または}\ x\ge 3 $$

である。これを定義域 $x>-2$ と合わせると

$$ x\ge 3 $$

となる。

**(ii)**

$0<a<1$ のとき

$\log_a x$ は減少関数であるから，

$$ (x+2)^2\le 3x+16 $$

と同値である。整理すると

$$ x^2+x-12\le 0 $$

$$ (x+4)(x-3)\le 0 $$

よって

$$ -4\le x\le 3 $$

である。これを定義域 $x>-2$ と合わせると

$$ -2<x\le 3 $$

となる。

解説

この問題の要点は，右辺の底が $a^2$ になっている点である。ここをそのまま扱わず，

$$ \log_{a^2}(3x+16)=\frac{1}{2}\log_a(3x+16) $$

と直してから，比較する形に持ち込むのが自然である。

その後は，対数関数の単調性が $a>1$ と $0<a<1$ で逆になることに注意して，不等号の向きを正しく処理すればよい。真数条件 $x>-2$ を最後に必ず共通範囲としてかけることが重要である。

答え

**(i)**

$a>1$ のとき

$$ x\ge 3 $$

**(ii)**

$0<a<1$ のとき

$$ -2<x\le 3 $$