解説

方針・初手

第二の真数は三倍角の公式を使うと

$$ -4\cos^3\theta+3\cos\theta+1=1-\cos3\theta $$

と変形できる。これにより値の範囲が強く制限される。

まずは第一の対数の真数が正であることから、$\cos\theta$ の範囲を絞る。

解法1

第一の真数を整理すると

$$4\sin^2\theta+3\cos\theta-4 =4(1-\cos^2\theta)+3\cos\theta-4 =\cos\theta(3-4\cos\theta)$$

である。

対数が定義されるためには真数が正でなければならないから、

$$ \cos\theta(3-4\cos\theta)>0 $$

である。$\cos\theta\in[-1,1]$ を考えると、

$$ 0<\cos\theta<\frac34 $$

を得る。

次に第二の真数を見ると、

$$-4\cos^3\theta+3\cos\theta+1 =1-(4\cos^3\theta-3\cos\theta) =1-\cos3\theta$$

である。

ここで $0<\cos\theta<\frac34$ なので、

$$\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta =\cos\theta(4\cos^2\theta-3)<0$$

が成り立つ。したがって

$$ 1-\cos3\theta>1 $$

である。

また $\cos3\theta\ge -1$ だから

$$ 1-\cos3\theta\le 2 $$

である。よって第二の真数は

$$ 1<-4\cos^3\theta+3\cos\theta+1\le 2 $$

を満たす。

このとき $\log_2(-4\cos^3\theta+3\cos\theta+1)$ が整数であるためには、真数は $2$ しかありえない。よって

$$ -4\cos^3\theta+3\cos\theta+1=2 $$

すなわち

$$ \cos3\theta=-1 $$

である。

したがって

$$ 3\theta=(2k+1)\pi\quad(k\in\mathbb Z) $$

より、$0\le\theta<2\pi$ では

$$ \theta=\frac{\pi}{3},\ \pi,\ \frac{5\pi}{3} $$

を得る。

最後に第一の真数を確認する。

$\theta=\pi$ のときは $\cos\theta=-1$ なので、

$$ 4\sin^2\theta+3\cos\theta-4=-7<0 $$

となり不適である。

一方、$\theta=\dfrac{\pi}{3},\dfrac{5\pi}{3}$ のときは $\cos\theta=\dfrac12$ だから、

$$4\sin^2\theta+3\cos\theta-4 =4\cdot\frac34+\frac32-4 =\frac12$$

であり、

$$-4\cos^3\theta+3\cos\theta+1 =-4\cdot\frac18+\frac32+1 =2$$

となる。したがって

$$ \log_2\frac12=-1,\qquad \log_2 2=1 $$

はいずれも整数である。

以上より求める $\theta$ は

$$ \theta=\frac{\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3} $$

である。

解説

この問題の要点は、第二の真数を

$$ 1-\cos3\theta $$

と見ることである。

ただし、それだけでは候補が多い。先に第一の真数が正であることから

$$ 0<\cos\theta<\frac34 $$

を出しておくと、$\cos3\theta<0$ が分かるので、第二の真数は $(1,2]$ に入る。ここで底が $2$ の対数が整数になる数は $2^n\ (n\in\mathbb Z)$ に限られるから、この範囲では $2$ しかない。そこから一気に $\cos3\theta=-1$ に落ちる。

真数条件を先に使うのが重要である。

答え

$$ \theta=\frac{\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3} $$