解説

方針・初手

まず、対数の問題では真っ先に真数条件を確認する。

（1） は加法公式

$$ \log_{10} a+\log_{10} b=\log_{10}(ab) $$

を用いて1つの対数にまとめ、不等式を普通の2次不等式に直す。

（2） は底が $2$ と $4$ でそろっていないので、

$$ \log_4(4-x)=\frac{1}{2}\log_2(4-x) $$

と変形して底をそろえてから処理する。

解法1

**(1)**

真数条件より

$$ 2x-5>0,\quad x-3>0 $$

であるから、

$$ x>\frac{5}{2},\quad x>3 $$

より

$$ x>3 $$

である。

この条件のもとで対数の加法公式を用いると、

$$ \log_{10}(2x-5)+\log_{10}(x-3)\leqq 1 $$

は

$$ \log_{10}{(2x-5)(x-3)}\leqq 1 $$

となる。底 $10$ は $1$ より大きいので、これは

$$ (2x-5)(x-3)\leqq 10 $$

と同値である。

展開して整理すると

$$ 2x^2-11x+15\leqq 10 $$

$$ 2x^2-11x+5\leqq 0 $$

となる。左辺を因数分解すると

$$ (2x-1)(x-5)\leqq 0 $$

であるから、

$$ \frac{1}{2}\leqq x\leqq 5 $$

を得る。これを真数条件 $x>3$ と合わせると、

$$ 3<x\leqq 5 $$

である。

**(2)**

真数条件より

$$ x+1>0,\quad 4-x>0 $$

であるから、

$$ -1<x<4 $$

である。

また、

$$ \log_4(4-x)=\frac{1}{2}\log_2(4-x) $$

であるから、与えられた方程式

$$ \log_2(x+1)+\log_4(4-x)=2 $$

は

$$ \log_2(x+1)+\frac{1}{2}\log_2(4-x)=2 $$

となる。両辺を $2$ 倍して

$$ 2\log_2(x+1)+\log_2(4-x)=4 $$

すなわち

$$ \log_2{(x+1)^2(4-x)}=4 $$

となるので、

$$ (x+1)^2(4-x)=16 $$

を解けばよい。

ここで

$$ t=x+1 $$

とおくと、真数条件より

$$ 0<t<5 $$

であり、また $4-x=5-t$ だから、

$$ t^2(5-t)=16 $$

すなわち

$$ t^3-5t^2+16=0 $$

となる。これを因数分解すると

$$ t^3-5t^2+16=(t-4)(t^2-t-4) $$

であるから、

$$ (t-4)(t^2-t-4)=0 $$

より

$$ t=4,\quad t=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2} $$

を得る。このうち $0<t<5$ を満たすのは

$$ t=4,\quad t=\frac{1+\sqrt{17}}{2} $$

である。

したがって

$$ x=t-1 $$

より

$$ x=3,\quad x=\frac{1+\sqrt{17}}{2}-1=\frac{\sqrt{17}-1}{2} $$

となる。

解説

この種の問題で最も多いミスは、対数をまとめたり指数形に直したあとで真数条件の確認を忘れることである。

（1） では、真数条件は最終的に $x>3$ にまで絞られる。2次不等式の解だけで止めると余分な範囲を含んでしまう。

（2） では、底が異なるまま無理にまとめようとすると崩れる。まず底を $2$ に統一し、その後で対数の性質を使うのが定石である。また、方程式を解いて得た値のうち、真数条件に合わないものは必ず除く必要がある。

答え

**(1)**

$$ 3<x\leqq 5 $$

**(2)**

$$ x=3,\quad x=\frac{\sqrt{17}-1}{2} $$