解説

方針・初手

条件 $xy^2=10^5$ を対数で処理すると，$\log_{10}x$ と $\log_{10}y$ の間に一次関係ができる。

そこで

$$ X=\log_{10}x,\quad Y=\log_{10}y $$

とおくと，

$$ X+2Y=5 $$

となるので，これと $x\geqq 10,\ y\geqq 1$ から $Y$ の範囲を求める。

また，

$$ \log_{10}x\cdot \log_{10}y=XY $$

は $Y$ の二次式で表せるので，その最大値を与える $Y$ を求めればよい。

解法1

$X=\log_{10}x,\ Y=\log_{10}y$ とおく。

すると，$xy^2=10^5$ より

$$ \log_{10}(xy^2)=\log_{10}10^5 $$

であるから，

$$ X+2Y=5 $$

が成り立つ。

さらに，$x\geqq 10$ より

$$ X=\log_{10}x\geqq 1 $$

であり，$y\geqq 1$ より

$$ Y=\log_{10}y\geqq 0 $$

である。

ここで $X=5-2Y$ だから，$X\geqq 1$ を用いると

$$ 5-2Y\geqq 1 $$

すなわち

$$ Y\leqq 2 $$

を得る。したがって，

$$ 0\leqq Y\leqq 2 $$

である。よって，$Y$ のとり得る値の範囲は

$$ 0\leqq Y\leqq 2 $$

である。

次に，

$$ \log_{10}x\cdot \log_{10}y=XY $$

を $Y$ で表すと，

$$ XY=(5-2Y)Y=-2Y^2+5Y $$

となる。これは下に凸ではなく，下に開く二次関数であるから，最大値は頂点でとる。

頂点の $Y$ 座標は

$$ Y=\frac{-5}{2\cdot(-2)}=\frac{5}{4} $$

である。

このとき

$$ X=5-2\cdot \frac54=\frac52 $$

となるので，

$$ \frac{x}{y}=10^X\div 10^Y=10^{X-Y} $$

より，

$$ \frac{x}{y}=10^{\frac52-\frac54}=10^{\frac54} $$

である。

解説

この問題の要点は，積の条件 $xy^2=10^5$ をそのまま扱うのではなく，対数をとって一次式 $X+2Y=5$ に直すことである。

すると制約条件も

$$ X\geqq 1,\quad Y\geqq 0 $$

と簡単になり，$Y$ の範囲は直ちに求まる。

さらに，最大化したい量 $XY$ も $Y$ の二次式

$$ -2Y^2+5Y $$

となるので，二次関数の頂点を使えば機械的に処理できる。対数の最大最小では，まず文字を置き換えて一次条件に直すのが基本である。

答え

⑤

$$ 0\leqq Y\leqq 2 $$

⑥

$$ 10^{\frac54} $$