解説

方針・初手

対数の底が $\dfrac13$ で扱いにくいので，まず $t=\log_{\frac13}x$ とおく。すると $f(x)$ は $t$ の2次式になり，さらに $x$ の範囲も $t$ の範囲に直せるので，最大・最小を2次関数の問題として処理できる。

解法1

$t=\log_{\frac13}x$ とおく。

このとき，

$$ x=\frac13 \Rightarrow t=1,\qquad x=9=\left(\frac13\right)^{-2}\Rightarrow t=-2 $$

である。底 $\dfrac13$ は $0<\dfrac13<1$ なので，$\log_{\frac13}x$ は減少関数である。したがって $x$ が

$$ \frac13 \leqq x \leqq 9 $$

を動くとき，$t$ の範囲は

$$ -2 \leqq t \leqq 1 $$

となる。

次に，各因数を $t$ で表す。

$$ \log_{\frac13}(9x)=\log_{\frac13}9+\log_{\frac13}x=-2+t=t-2 $$

また，

$$ \log_{\frac13}\frac{x}{3} =\log_{\frac13}x-\log_{\frac13}3 =t-(-1) =t+1 $$

であるから，

$$ f(x)=(t-2)(t+1)=t^2-t-2 $$

となる。

よって，$f(x)$ は $t$ について上に開く2次関数である。

まず最小値を求める。頂点の $t$ 座標は

$$ t=\frac{1}{2} $$

であり，これは範囲 $-2\leqq t\leqq 1$ に含まれる。したがって最小値は

$$ f\left(\frac12\right) =\left(\frac12\right)^2-\frac12-2 =\frac14-\frac24-\frac84 =-\frac94 $$

である。

このとき

$$ \log_{\frac13}x=\frac12 $$

より，

$$ x=\left(\frac13\right)^{\frac12} =\frac{1}{\sqrt3} =\frac{\sqrt3}{3} $$

である。

次に最大値を求める。上に開く2次関数なので，区間 $-2\leqq t\leqq 1$ での最大値は端点で生じる。

$$ f(-2)=(-2)^2-(-2)-2=4 $$

$$ f(1)=1-1-2=-2 $$

したがって最大値は $4$ で，これは $t=-2$ のときにとる。

$t=-2$ は

$$ \log_{\frac13}x=-2 $$

より，

$$ x=\left(\frac13\right)^{-2}=9 $$

である。

解説

この問題の要点は，対数式をそのまま扱わず，$t=\log_{\frac13}x$ と置いて2次関数に直すことである。

特に，底が $\dfrac13$ のように $1$ 未満のときは，$\log_{\frac13}x$ が減少関数になるため，$x$ の範囲を $t$ の範囲に直す際に向きに注意が必要である。そこを正しく処理できれば，あとは頂点と端点を調べる標準問題である。

答え

$$ f(x)\text{ は }x=9\text{ のとき最大値 }4\text{ をとり，}x=\frac{\sqrt3}{3}\text{ のとき最小値 }-\frac94\text{ をとる。} $$

したがって，

$$ \boxed{\text{オ}=9,\ \text{カ}=4,\ \text{キ}=\frac{\sqrt3}{3},\ \text{ク}=-\frac94} $$