基礎問題集
数学2 指数対数「対数関数」の問題72 解説
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解説
方針・初手
共通の値を $t$ とおき，対数を取って $a,b,c,d$ を $\log 3,\log 5,\log 7,\log 105$ で表すのが自然である。
すると $\dfrac1a,\dfrac1b,\dfrac1c,\dfrac1d$ が同じ分母をもつ形になり，$\log 105=\log 3+\log 5+\log 7$ を用いて示せる。
解法1
$$ 3^a=5^b=7^c=105^d=t $$
とおく。
$a,b,c,d$ は $0$ でないから，$t=1$ であるとすると
$$ 3^a=1,\quad 5^b=1,\quad 7^c=1,\quad 105^d=1 $$
より $a=b=c=d=0$ となってしまい矛盾する。したがって
$$ t>0,\quad t\neq 1 $$
である。
ここで対数を取ると，
$$ a\log 3=\log t,\quad b\log 5=\log t,\quad c\log 7=\log t,\quad d\log 105=\log t $$
となる。よって
$$ a=\frac{\log t}{\log 3},\quad b=\frac{\log t}{\log 5},\quad c=\frac{\log t}{\log 7},\quad d=\frac{\log t}{\log 105} $$
である。
したがって逆数をとれば，
$$ \frac1a=\frac{\log 3}{\log t},\quad \frac1b=\frac{\log 5}{\log t},\quad \frac1c=\frac{\log 7}{\log t},\quad \frac1d=\frac{\log 105}{\log t} $$
を得る。ここで対数の性質より
$$ \log 105=\log(3\cdot 5\cdot 7)=\log 3+\log 5+\log 7 $$
であるから，
$$ \frac1a+\frac1b+\frac1c =\frac{\log 3+\log 5+\log 7}{\log t} =\frac{\log 105}{\log t} =\frac1d $$
となる。
よって
$$ \frac1a+\frac1b+\frac1c=\frac1d $$
が成り立つ。
解説
この問題の要点は，$3^a,5^b,7^c,105^d$ がすべて同じ値であることから，共通値をおいて対数で指数を取り出すことである。
すると $\dfrac1a,\dfrac1b,\dfrac1c,\dfrac1d$ はすべて $\log t$ を分母にもつ形になり，最後は
$$ \log 105=\log 3+\log 5+\log 7 $$
に帰着する。指数が等しい形の典型処理である。
答え
$$ \frac1a+\frac1b+\frac1c=\frac1d $$
が成り立つ。