基礎問題集
数学2 指数対数「対数関数」の問題73 解説
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解説
方針・初手
底が $4>1$ であるから、$\log_4 x$ は単調増加である。したがって、
$$ 4^{5.4}<2022<4^{5.5} $$
を示せばよい。
上側は $4^{5.5}=2048$ を直接用いればすぐに示せる。下側は、常用対数をとって $4^{5.4}<2000<2022$ を示す。
解法1
まず上側を示す。
$$ 4^{5.5}=4^{\frac{11}{2}}=(\sqrt{4})^{11}=2^{11}=2048 $$
であるから、
$$ 2022<2048=4^{5.5} $$
より、
$$ \log_4 2022<5.5 $$
となる。
次に下側を示す。
$$ \log_{10}(4^{5.4})=5.4\log_{10}4=10.8\log_{10}2 $$
であり、与えられた条件 $\log_{10}2<0.3011$ から
$$ \log_{10}(4^{5.4})<10.8\times 0.3011=3.25188 $$
を得る。
一方、
$$ \log_{10}2000=\log_{10}(2\times 10^3)=\log_{10}2+3 $$
であり、$\log_{10}2>0.301$ だから
$$ \log_{10}2000>3.301 $$
となる。よって
$$ \log_{10}(4^{5.4})<3.25188<3.301<\log_{10}2000 $$
であるから、
$$ 4^{5.4}<2000<2022 $$
となる。したがって
$$ 5.4<\log_4 2022 $$
を得る。
以上より、
$$ 5.4<\log_4 2022<5.5 $$
が示された。
解説
この問題の要点は、対数の値そのものを直接計算しようとせず、$\log_4 x$ の単調性を使って指数の比較に持ち込むことである。
上側は $2022<2048=2^{11}=4^{5.5}$ とただちに処理できる。下側は $4^{5.4}$ を直接計算しにくいので、常用対数をとって大小比較を行うのが自然である。与えられた
$$ 0.301<\log_{10}2<0.3011 $$
はこのために使う。
答え
$$ 5.4<\log_4 2022<5.5 $$
である。