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数学2 指数対数「対数関数」の問題74 解説

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数学2指数対数対数関数問題74

解説

対数の底が $2$ と $x$ で混在しているので，$x$ を $2$ を底とする対数で置き換えるのが自然である。

その際，対数の定義域より

$$ x>0,\quad x\ne 1 $$

を最初に確認しておく。

$\log_2 x=t$ とおく。

すると

$$ x=2^t,\quad t\ne 0 $$

である。もとの式の各項を $t$ で表すと，

$$ \log_2 x^4=4\log_2 x=4t $$

また，底の変換公式より

$$ \log_x 4=\frac{\log_2 4}{\log_2 x}=\frac{2}{t} $$

であるから，与えられた式は

$$ 4t+\left(\frac{2}{t}\right)^2=0 $$

となる。

これを整理すると

$$ 4t+\frac{4}{t^2}=0 $$

$$ 4t^3+4=0 $$

$$ t^3+1=0 $$

$$ t=-1 $$

したがって

$$ \log_2 x=-1 $$

より

$$ x=2^{-1}=\frac{1}{2} $$

となる。

この問題の要点は，$\log_x 4$ をそのまま扱わず，底の変換公式で $\log_2 x$ にそろえることである。

$\log_x 4=\dfrac{2}{\log_2 x}$ と表せるため，1文字置換によって三次方程式に帰着できる。なお，$\log_x 4$ が現れるので，$x>0,\ x\ne 1$ を忘れてはいけない。

$$ x=\frac{1}{2} $$