解説

方針・初手

左辺を関数 $f(x)$ とおき，まず $x\ge 3$ での増減を調べる。$x\ge 3$ で増加すると分かれば，一度正になった後はずっと正になるので，あとは小さい自然数だけを確かめればよい。

解法1

$$ f(x)=x^2-5x+3-2\log_3 x \qquad (x>0) $$

とおく。

導関数は

$$ f'(x)=2x-5-\frac{2}{x\ln 3} $$

である。

さらに

$$ \frac{d}{dx}f'(x)=2+\frac{2}{x^2\ln 3}>0 $$

より，$f'(x)$ は $x>0$ で増加する。

したがって $x\ge 3$ では

$$ f'(x)\ge f'(3)=1-\frac{2}{3\ln 3}>0 $$

となるから，$f(x)$ は $x\ge 3$ で増加する。

ここで $x=5$ のときを調べると，

$$ f(5)=25-25+3-2\log_3 5=3-2\log_3 5 $$

である。$5<3^{3/2}$ であるから，

$$ \log_3 5<\frac32 $$

よって

$$ f(5)=3-2\log_3 5>0 $$

となる。

$f(x)$ は $x\ge 3$ で増加するので，$x\ge 5$ では常に

$$ f(x)\ge f(5)>0 $$

である。したがって，不等式を満たす自然数は $x=1,2,3,4$ の中に限られる。

以下，順に確かめる。

**(1)**

$x=1$ のとき

$$ f(1)=1-5+3=-1<0 $$

**(2)**

$x=2$ のとき

$$ f(2)=4-10+3-2\log_3 2=-3-2\log_3 2<0 $$

**(3)**

$x=3$ のとき

$$ f(3)=9-15+3-2=-5<0 $$

**(4)**

$x=4$ のとき

$$ f(4)=16-20+3-2\log_3 4=-1-2\log_3 4<0 $$

以上より，不等式を満たす自然数は

$$ x=1,2,3,4 $$

の $4$ 個である。

解説

対数関数は増え方が遅く，二次式は増え方が速いので，この種の問題では「あるところから先はずっと正になる」と示すのが有効である。

本問では，左辺を関数とみて $x\ge 3$ で単調増加することを示し，さらに $x=5$ で正であることを確かめることで，$x\ge 5$ を一括で除外できる。残りの小さい自然数を直接調べれば解答が完結する。

答え

$4$ 個。