解説

方針・初手

（1） は，共通の値をもつ指数式を対数で結びつければよい。 $a^x=b^y=(ab)^z$ から，$x\log a,\ y\log b,\ z(\log a+\log b)$ が等しくなることに着目する。

（2） は分数方程式を整数条件のもとで解く。通分して整理すると因数分解できる。

（3） は （1） と （2） をそのまま利用する問題である。まず指数 $m,n$ を決め，その後 $a^m=b^n$ から $b$ を求める。

解法1

**(1)**

$a^x=b^y=(ab)^z$ とする。共通の値を $T$ とおくと，

$$ a^x=T,\qquad b^y=T,\qquad (ab)^z=T $$

である。

$a>1,\ b>1$ であり，$x,y,z\neq 0$ だから，$T=1$ とはなりえない。したがって対数をとることができ，

$$ x\log a=y\log b=z\log(ab)=z(\log a+\log b) $$

を得る。

この共通の値を $k$ とおくと，

$$ x\log a=y\log b=z(\log a+\log b)=k $$

であるから，

$$ \frac{1}{x}=\frac{\log a}{k},\qquad \frac{1}{y}=\frac{\log b}{k},\qquad \frac{1}{z}=\frac{\log a+\log b}{k} $$

となる。よって，

$$ \frac{1}{x}+\frac{1}{y} =\frac{\log a}{k}+\frac{\log b}{k} =\frac{\log a+\log b}{k} =\frac{1}{z} $$

である。したがって，

$$ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z} $$

が示された。

**(2)**

$$ \frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{5} $$

より，

$$ \frac{m+n}{mn}=\frac{1}{5} $$

したがって，

$$ mn-5m-5n=0 $$

となる。ここで両辺に $25$ を加えると，

$$ mn-5m-5n+25=25 $$

すなわち，

$$ (m-5)(n-5)=25 $$

を得る。

$m,n$ は自然数で，しかも $m>n$ であるから，$m-5,\ n-5$ は正の整数であり，その積が $25$ になる組を考えればよい。 $25$ の正の約数の組は

$$ (25,1),\ (5,5),\ (1,25) $$

であるが，$m>n$ に対応するのは

$$ m-5=25,\qquad n-5=1 $$

のみである。よって，

$$ m=30,\qquad n=6 $$

となる。

**(3)**

$$ a^m=b^n=(ab)^5 $$

であるから，（1） において $x=m,\ y=n,\ z=5$ とすれば，

$$ \frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{5} $$

を得る。

さらに，$1<a<b$ であり，共通の値 $a^m=b^n$ は同じである。底が大きい $b$ のほうが指数は小さくなるので，

$$ m>n $$

である。したがって （2） より，

$$ m=30,\qquad n=6 $$

と分かる。

ここで $a^m=b^n$ に代入すると，

$$ a^{30}=b^6 $$

ゆえに，

$$ b=a^5 $$

である。

解説

この問題の中心は （1） の処理である。共通の値をもつ指数式では，対数をとることで指数を前に出し，線形な関係に直せる。この操作によって

$$ x\log a=y\log b=z(\log a+\log b) $$

という形が得られ，逆数の和の関係が自然に現れる。

（2） は典型的な整数問題であり，

$$ \frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{5} $$

をそのまま扱うのではなく，

$$ (m-5)(n-5)=25 $$

まで変形するのが標準手法である。

（3） は新しく見えても，実質的には （1） と （2） の連結である。特に $a<b$ から同じ値をつくるには $m>n$ であることを見落とさないことが重要である。

答え

**(1)**

$$ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z} $$

**(2)**

$$ m=30,\qquad n=6 $$

**(3)**

$$ b=a^5 $$